Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 218

ГДЗ: Упражнение 218 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

218 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 7^{x-2} = 6 \)

Шаг 1: Уравнение не сводится к одинаковому основанию. Используем определение логарифма (логарифмируем по основанию 7):

  • \( x - 2 = \log_7 6 \)

Шаг 2: Решаем относительно \( x \):

  • \( x = 2 + \log_7 6 \)

Ответ: \( x = 2 + \log_7 6 \)

2) \( 3^{2x} + 3^{2x-1} - 3^{2x-2} = 315 \)

Шаг 1: Вынесем наименьшую степень \( 3^{2x-2} \) за скобки:

  • \( 3^{2x-2} \cdot 3^2 + 3^{2x-2} \cdot 3^1 - 3^{2x-2} = 315 \)
  • \( 3^{2x-2} (3^2 + 3^1 - 1) = 315 \)
  • \( 3^{2x-2} (9 + 3 - 1) = 315 \)
  • \( 3^{2x-2} \cdot 11 = 315 \)

Шаг 2: Разделим на 11:

  • \( 3^{2x-2} = \frac{315}{11} \)

Шаг 3: Проверим, является ли \( \frac{315}{11} \) степенью 3. \( 3^5 = 243 \), \( 3^6 = 729 \). 315 не делится на 11 нацело (315/11 \(\approx\) 28.63).
Используем логарифм по основанию 3:

  • \( 2x - 2 = \log_3 \left(\frac{315}{11}\right) \)
  • \( 2x = 2 + \log_3 \left(\frac{315}{11}\right) \)
  • \( x = 1 + \frac{1}{2} \log_3 \left(\frac{315}{11}\right) \)

Ответ: \( x = 1 + \frac{1}{2} \log_3 \left(\frac{315}{11}\right) \)

3) \( 5^{3x} + 5^{3x-1} = 140 \)

Шаг 1: Вынесем наименьшую степень \( 5^{3x-1} \) за скобки:

  • \( 5^{3x-1} \cdot 5^1 + 5^{3x-1} = 140 \)
  • \( 5^{3x-1} (5 + 1) = 140 \)
  • \( 5^{3x-1} \cdot 6 = 140 \)

Шаг 2: Разделим на 6:

  • \( 5^{3x-1} = \frac{140}{6} = \frac{70}{3} \)

Шаг 3: Используем логарифм по основанию 5:

  • \( 3x - 1 = \log_5 \left(\frac{70}{3}\right) \)
  • \( 3x = 1 + \log_5 \left(\frac{70}{3}\right) \)
  • \( x = \frac{1}{3} \left(1 + \log_5 \left(\frac{70}{3}\right)\right) \)

Ответ: \( x = \frac{1}{3} \left(1 + \log_5 \left(\frac{70}{3}\right)\right) \)

4) \( 2^{x+1} + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^x + 6 = 0 \)

Шаг 1: Вынесем наименьшую степень \( 2^{x-1} \) за скобки:

  • \( 2^{x-1} \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^{x-1} - 5 \cdot 2^{x-1} \cdot 2^1 + 6 = 0 \)
  • \( 2^{x-1} (4 + 3 - 5 \cdot 2) + 6 = 0 \)
  • \( 2^{x-1} (4 + 3 - 10) + 6 = 0 \)
  • \( 2^{x-1} (-3) + 6 = 0 \)

Шаг 2: Решаем относительно \( 2^{x-1} \):

  • \( -3 \cdot 2^{x-1} = -6 \)
  • \( 2^{x-1} = 2 \)
  • \( 2^{x-1} = 2^1 \)

Шаг 3: Приравниваем показатели:

  • \( x - 1 = 1 \)
  • \( x = 2 \)

Ответ: \( x = 2 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.