ГДЗ: Упражнение 226 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Это однородное показательное уравнение. Разделим все члены на \( 4^x \) (или \( 9^x \) или \( 6^x \)), так как \( 4^x > 0 \):

• \( 4 \cdot \frac{9^x}{4^x} - 13 \cdot \frac{6^x}{4^x} + 9 = 0 \)
• \( 4 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x - 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0 \)

Шаг 2: Приведем к основанию \( \frac{3}{2} \), заметив, что \( \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \):

• \( 4 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^x\right)^2 - 13 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0 \)

Шаг 3: Введем замену: \( y = \left(\frac{3}{2}\right)^x \), где \( y > 0 \).

• \( 4y^2 - 13y + 9 = 0 \)

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4(4)(9) = 169 - 144 = 25 \)
• Корни: \( y = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{8} = \frac{13 \pm 5}{8} \)
• \( y_1 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \); \( y_2 = \frac{8}{8} = 1 \). Оба корня положительны.

Шаг 5: Выполняем обратную замену:

• Случай 1: \( \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4} \implies \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \implies x_1 = 2 \)
• Случай 2: \( \left(\frac{3}{2}\right)^x = 1 \implies \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^0 \implies x_2 = 0 \)

Ответ: \( x_1 = 2 \); \( x_2 = 0 \)

Шаг 1: Разделим все члены на \( 16^x \):

• \( 16 \cdot \frac{9^x}{16^x} - 25 \cdot \frac{12^x}{16^x} + 9 = 0 \)
• \( 16 \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^x - 25 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 9 = 0 \)

Шаг 2: Приведем к основанию \( \frac{3}{4} \), заметив, что \( \frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \):

• \( 16 \cdot \left(\left(\frac{3}{4}\right)^x\right)^2 - 25 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 9 = 0 \)

Шаг 3: Введем замену: \( y = \left(\frac{3}{4}\right)^x \), где \( y > 0 \).

• \( 16y^2 - 25y + 9 = 0 \)

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = (-25)^2 - 4(16)(9) = 625 - 576 = 49 \)
• Корни: \( y = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{32} = \frac{25 \pm 7}{32} \)
• \( y_1 = \frac{32}{32} = 1 \); \( y_2 = \frac{18}{32} = \frac{9}{16} \). Оба корня положительны.

Шаг 5: Выполняем обратную замену:

• Случай 1: \( \left(\frac{3}{4}\right)^x = 1 \implies x_1 = 0 \)
• Случай 2: \( \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{9}{16} \implies \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \implies x_2 = 2 \)

Ответ: \( x_1 = 0 \); \( x_2 = 2 \)

Шаг 1: Приведем левую часть к основанию 2, используя \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \):

• \( 2^{1/2} \cdot 2^{\sqrt{3}x} = 12 \)
• \( 2^{\frac{1}{2} + \sqrt{3}x} = 12 \)

Шаг 2: Логарифмируем по основанию 2:

• \( \frac{1}{2} + \sqrt{3}x = \log_2 12 \)

Шаг 3: Решаем относительно \( x \):

• \( \sqrt{3}x = \log_2 12 - \frac{1}{2} \)
• \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\log_2 12 - \frac{1}{2}\right) \)

Ответ: \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\log_2 12 - \frac{1}{2}\right) \)

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 5, учитывая ОДЗ: \( x \ge 0 \).

• \( \sqrt{5} = 5^{1/2} \), \( 25 = 5^2 \)
• \( 5^{1/2} \cdot 5^{\sqrt{x}} = 5^2 \)
• \( 5^{\frac{1}{2} + \sqrt{x}} = 5^2 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

• \( \frac{1}{2} + \sqrt{x} = 2 \)

Шаг 3: Решаем относительно \( \sqrt{x} \):

• \( \sqrt{x} = 2 - \frac{1}{2} \)
• \( \sqrt{x} = \frac{3}{2} \)

Шаг 4: Возводим в квадрат:

• \( x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \)
• \( x = \frac{9}{4} = 2,25 \)

Проверим ОДЗ: \( 2,25 \ge 0 \). Корень подходит.

Ответ: \( x = 2,25 \)