Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 212

ГДЗ: Упражнение 212 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

212 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 5^x = 8^x \)

Шаг 1: Перенесем все в одну часть и разделим на \( 8^x \) (так как \( 8^x > 0 \)):

  • \( \frac{5^x}{8^x} = 1 \)
  • \( \left(\frac{5}{8}\right)^x = 1 \)

Шаг 2: Так как любое число в нулевой степени равно 1 (\( a^0 = 1 \)):

  • \( x = 0 \)

Ответ: \( x = 0 \)

2) \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{3}\right)^x \)

Шаг 1: Разделим обе части на \( \left(\frac{1}{3}\right)^x \) (так как \( \left(\frac{1}{3}\right)^x > 0 \)):

  • \( \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\left(\frac{1}{3}\right)^x} = 1 \)
  • \( \left(\frac{1/2}{1/3}\right)^x = 1 \)
  • \( \left(\frac{3}{2}\right)^x = 1 \)

Шаг 2: Так как любое число в нулевой степени равно 1:

  • \( x = 0 \)

Ответ: \( x = 0 \)

3) \( 3^x = 5^{2x} \)

Шаг 1: Используем свойство степени: \( 5^{2x} = (5^2)^x = 25^x \):

  • \( 3^x = 25^x \)

Шаг 2: Разделим обе части на \( 25^x \):

  • \( \left(\frac{3}{25}\right)^x = 1 \)

Шаг 3: Так как любое число в нулевой степени равно 1:

  • \( x = 0 \)

Ответ: \( x = 0 \)

4) \( 4^x = 3^{2x} \)

Шаг 1: Используем свойство степени: \( 3^{2x} = (3^2)^x = 9^x \):

  • \( 4^x = 9^x \)

Шаг 2: Разделим обе части на \( 9^x \):

  • \( \left(\frac{4}{9}\right)^x = 1 \)

Шаг 3: Так как любое число в нулевой степени равно 1:

  • \( x = 0 \)

Ответ: \( x = 0 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.