Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 219

ГДЗ: Упражнение 219 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

219 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 7^{x-2} = 3^x \)

Шаг 1: Разделим на \( 3^x \):

  • \( \frac{7^{x-2}}{3^x} = 1 \)
  • \( \frac{7^x}{7^2 \cdot 3^x} = 1 \)
  • \( \frac{1}{49} \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^x = 1 \)
  • \( \left(\frac{7}{3}\right)^x = 49 \)

Шаг 2: Используем логарифм по основанию \( \frac{7}{3} \):

  • \( x = \log_{7/3} 49 \)

Ответ: \( x = \log_{7/3} 49 \)

2) \( 2^{x-3} = 3^{3-x} \)

Шаг 1: Заметим, что \( 3^{3-x} = 3^{-(x-3)} = \frac{1}{3^{x-3}} \):

  • \( 2^{x-3} = \frac{1}{3^{x-3}} \)

Шаг 2: Умножим на \( 3^{x-3} \):

  • \( 2^{x-3} \cdot 3^{x-3} = 1 \)
  • \( (2 \cdot 3)^{x-3} = 1 \)
  • \( 6^{x-3} = 1 \)

Шаг 3: Так как \( 6^0 = 1 \), приравниваем показатель к нулю:

  • \( x - 3 = 0 \)
  • \( x = 3 \)

Ответ: \( x = 3 \)

3) \( 5^{x+2} = 3^x \)

Шаг 1: Разделим на \( 3^x \) и разложим левую часть:

  • \( 5^x \cdot 5^2 = 3^x \)
  • \( 25 \cdot 5^x = 3^x \)
  • \( 25 = \frac{3^x}{5^x} \)
  • \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = 25 \)

Шаг 2: Используем логарифм по основанию \( \frac{3}{5} \):

  • \( x = \log_{3/5} 25 \)

Ответ: \( x = \log_{3/5} 25 \)

4) \( 4^{x-2} = 3^{2-x} \)

Шаг 1: Заметим, что \( 2-x = -(x-2) \). Уравнение можно записать как:

  • \( 4^{x-2} = 3^{-(x-2)} \)
  • \( 4^{x-2} = \frac{1}{3^{x-2}} \)

Шаг 2: Умножим на \( 3^{x-2} \):

  • \( 4^{x-2} \cdot 3^{x-2} = 1 \)
  • \( (4 \cdot 3)^{x-2} = 1 \)
  • \( 12^{x-2} = 1 \)

Шаг 3: Приравниваем показатели:

  • \( x - 2 = 0 \)
  • \( x = 2 \)

Ответ: \( x = 2 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.