Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 12 / Задание 216

ГДЗ: Упражнение 216 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 77, 79, 80, 81
Глава: Глава 3
Параграф: § 12 - Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

216 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 10^x = \sqrt[x]{100} \)

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 10, учитывая ОДЗ: \( x \ne 0 \).

  • \( 100 = 10^2 \)
  • \( \sqrt[x]{100} = 100^{1/x} = (10^2)^{1/x} = 10^{2/x} \)
  • Уравнение: \( 10^x = 10^{2/x} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( x = \frac{2}{x} \)

Шаг 3: Решаем уравнение:

  • \( x^2 = 2 \)
  • \( x = \pm \sqrt{2} \)

Оба корня подходят под ОДЗ.

Ответ: \( x_1 = \sqrt{2} \); \( x_2 = -\sqrt{2} \)

2) \( 10^x = \sqrt[x]{10000} \)

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 10, учитывая ОДЗ: \( x \ne 0 \).

  • \( 10000 = 10^4 \)
  • \( \sqrt[x]{10000} = 10000^{1/x} = (10^4)^{1/x} = 10^{4/x} \)
  • Уравнение: \( 10^x = 10^{4/x} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( x = \frac{4}{x} \)

Шаг 3: Решаем уравнение:

  • \( x^2 = 4 \)
  • \( x = \pm 2 \)

Оба корня подходят под ОДЗ.

Ответ: \( x_1 = 2 \); \( x_2 = -2 \)

3) \( 225^{2x^2-24} = 15 \)

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 15 (\( 225 = 15^2 \), \( 15 = 15^1 \)):

  • \( (15^2)^{2x^2-24} = 15^1 \)
  • \( 15^{2(2x^2-24)} = 15^1 \)
  • \( 15^{4x^2 - 48} = 15^1 \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( 4x^2 - 48 = 1 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

  • \( 4x^2 = 49 \)
  • \( x^2 = \frac{49}{4} \)
  • \( x = \pm \sqrt{\frac{49}{4}} \)
  • \( x = \pm \frac{7}{2} \)

Ответ: \( x_1 = 3,5 \); \( x_2 = -3,5 \)

4) \( 10^{x^2} = \sqrt[x]{10} \cdot \frac{1}{\sqrt[x]{10000}} \)

Шаг 1: Приведем все к основанию 10, учитывая ОДЗ: \( x \ne 0 \).

  • Правая часть: \( 10^{1/x} \cdot \frac{1}{(10^4)^{1/x}} = 10^{1/x} \cdot \frac{1}{10^{4/x}} = 10^{1/x} \cdot 10^{-4/x} \)
  • Правая часть: \( 10^{\frac{1}{x} - \frac{4}{x}} = 10^{-\frac{3}{x}} \)
  • Уравнение: \( 10^{x^2} = 10^{-3/x} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели:

  • \( x^2 = -\frac{3}{x} \)

Шаг 3: Решаем уравнение (умножим на \( x \)):

  • \( x^3 = -3 \)
  • \( x = \sqrt[3]{-3} \)
  • \( x = -\sqrt[3]{3} \)

Корень подходит под ОДЗ.

Ответ: \( x = -\sqrt[3]{3} \)

5) \( (\sqrt{10})^x = 10^{x^2} \)

Шаг 1: Приведем левую часть к основанию 10 (\( \sqrt{10} = 10^{1/2} \)):

  • \( (10^{1/2})^x = 10^{x^2} \)
  • \( 10^{x/2} = 10^{x^2} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:

  • \( \frac{x}{2} = x^2 \)
  • \( x^2 - \frac{x}{2} = 0 \)
  • \( x (x - \frac{1}{2}) = 0 \)

Шаг 3: Находим корни:

  • \( x_1 = 0 \)
  • \( x_2 = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x_1 = 0 \); \( x_2 = 0,5 \)

6) \( 100^{x^2-1} = 10^{1-5x} \)

Примечание: Данное уравнение совпадает с упражнением 215 (4).

Шаг 1: Приведем обе части к основанию 10 (\( 100 = 10^2 \)):

  • \( (10^2)^{x^2-1} = 10^{1-5x} \)
  • \( 10^{2x^2 - 2} = 10^{1-5x} \)

Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:

  • \( 2x^2 - 2 = 1 - 5x \)
  • \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

  • Дискриминант: \( D = 49 \)
  • Корни: \( x = \frac{-5 \pm 7}{4} \)
  • \( x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
  • \( x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \)

Ответ: \( x_1 = \frac{1}{2} \); \( x_2 = -3 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.