Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 4 / Задание 379

ГДЗ: Упражнение 379 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 113, 114
Глава: Глава 4
Параграф: Глава 4 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

379 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - 1 \)

Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным.

  • ОДЗ: \( x^2 - 2x > 0 \Rightarrow x(x - 2) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \)

    • Шаг 2: Представим число \( 1 \) как логарифм по основанию \( 10 \): \( 1 = \lg 10 \).

  • \( \lg (x^2 - 2x) = \lg 30 - \lg 10 \)

    • Шаг 3: Применим свойство разности логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \).

  • \( \lg (x^2 - 2x) = \lg \left( \frac{30}{10} \right) \)
  • \( \lg (x^2 - 2x) = \lg 3 \)

    • Шаг 4: Приравняем аргументы логарифмов.

  • \( x^2 - 2x = 3 \)

    • Шаг 5: Решим квадратное уравнение.

  • \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
  • Корни (по Виету: \( x_1 + x_2 = 2 \), \( x_1 x_2 = -3 \)): \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \).

    • Шаг 6: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \).

  • \( x_1 = 3 \): \( 3 > 2 \) (подходит)
  • \( x_2 = -1 \): \( -1 < 0 \) (подходит)

    • Ответ: \( x_1 = 3; \quad x_2 = -1 \)

    2) \( \log_{3} (2x^2 + x) = \log_{3} 6 - \log_{3} 2 \)

    Шаг 1: Определим ОДЗ: \( 2x^2 + x > 0 \Rightarrow x(2x + 1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty) \).

    Шаг 2: Применим свойство разности логарифмов в правой части.

  • \( \log_{3} (2x^2 + x) = \log_{3} \left( \frac{6}{2} \right) \)
  • \( \log_{3} (2x^2 + x) = \log_{3} 3 \)

    • Шаг 3: Приравняем аргументы логарифмов. Так как \( \log_3 3 = 1 \), получаем.

  • \( 2x^2 + x = 3 \)

    • Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

  • \( 2x^2 + x - 3 = 0 \)
  • Найдем дискриминант: \( D = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \)
  • Корни: \( x = \frac{-1 \pm 5}{4} \). \( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \), \( x_2 = \frac{-6}{4} = -1,5 \).

    • Шаг 5: Проверим корни на принадлежность ОДЗ \( x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty) \).

  • \( x_1 = 1 \): \( 1 > 0 \) (подходит)
  • \( x_2 = -1,5 \): \( -1,5 < -0,5 \) (подходит)

    • Ответ: \( x_1 = 1; \quad x_2 = -1,5 \)

    3) \( \log_{\sqrt{2}} 3 \lg x = 4 \)

    Шаг 1: Определим ОДЗ: \( x > 0 \).

    Шаг 2: Учтем, что \( \log_{\sqrt{2}} 3 \) - это константа. Разделим обе части на эту константу.

  • \( \lg x = \frac{4}{\log_{\sqrt{2}} 3} \)

    • Шаг 3: Используем свойство логарифма: \( \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \).

  • \( \lg x = 4 \log_{3} \sqrt{2} \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени: \( p \log_a b = \log_a b^p \).

  • \( \lg x = \log_{3} (\sqrt{2})^4 \)
  • \( \lg x = \log_{3} 4 \)

    • Шаг 5: Перейдем от логарифма к показательному выражению по основанию \( 10 \).

  • \( x = 10^{\log_{3} 4} \)

    • Ответ: \( x = 10^{\log_{3} 4} \)

    Что применять при решении

    Определение логарифма
    Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
    \( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
    Основное логарифмическое тождество
    Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
    \( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
    Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
    Формулы для преобразования логарифмов.
    \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
    Формула перехода к новому основанию
    Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
    \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
    Монотонность логарифмической функции
    Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
    \( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 4

    368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.