ГДЗ: Упражнение 385 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Преобразование логарифмов к общему основанию или оценка.

• Используем формулу перехода к натуральному логарифму: \( \log_{\frac{1}{2}} 3 = \frac{\ln 3}{\ln \frac{1}{2}} = \frac{\ln 3}{-\ln 2} = -\frac{\ln 3}{\ln 2} \).

• Аналогично: \( \log_{\frac{1}{3}} 2 = \frac{\ln 2}{\ln \frac{1}{3}} = \frac{\ln 2}{-\ln 3} = -\frac{\ln 2}{\ln 3} \).

2. Сравнение отрицательных чисел.

Сравнение \( -\frac{\ln 3}{\ln 2} \) и \( -\frac{\ln 2}{\ln 3} \) равносильно сравнению положительных чисел \( \frac{\ln 3}{\ln 2} \) и \( \frac{\ln 2}{\ln 3} \) с обратным знаком неравенства.

Пусть \( a = \ln 3 \) и \( b = \ln 2 \). Поскольку \( 3 > 2 > 1 \), то \( a > b > 0 \). Нам нужно сравнить \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{b}{a} \).

Так как \( a > b > 0 \), то \( \frac{a}{b} > 1 \) и \( 0 < \frac{b}{a} < 1 \). Следовательно, \( \frac{a}{b} > \frac{b}{a} \), то есть \( \frac{\ln 3}{\ln 2} > \frac{\ln 2}{\ln 3} \).

3. Финальный вывод.

Поскольку при умножении неравенства на \( -1 \) знак меняется, то \( -\frac{\ln 3}{\ln 2} < -\frac{\ln 2}{\ln 3} \).

Ответ: \( \log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{3}} 2 \).

1. Упрощение первого выражения.

• Заметим, что \( 1^9 = 1 \). Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю: \( \log_{2^9} 1^9 = \log_{2^9} 1 = 0 \).

• Первое выражение упрощается до \( 2 \log_2 5 + 0 = 2 \log_2 5 \).

• Применяем свойство логарифма: \( 2 \log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25 \).

2. Упрощение второго выражения.

• Второе выражение: \( 2 \sqrt{8} = 2 \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \).

3. Сравнение.

• Нам нужно сравнить \( \log_2 25 \) и \( 4 \sqrt{2} \).

• Представим \( 4 \sqrt{2} \) как логарифм по основанию 2. Пусть \( 4 \sqrt{2} = x \). Тогда нам нужно найти \( \log_2 M \), где \( M = 2^{4 \sqrt{2}} \). Это сложно.

• Вместо этого оценим: \( 2^4 = 16 \) и \( 2^5 = 32 \). Так как \( 16 < 25 < 32 \), то \( 4 < \log_2 25 < 5 \).

• Оценим \( 4 \sqrt{2} \): \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), следовательно \( 4 \sqrt{2} \approx 4 \cdot 1.414 = 5.656 \).

• Сравним \( \log_2 25 \) с числом 5: \( \log_2 25 \) и \( 5 = \log_2 32 \). Поскольку \( 25 < 32 \) и основание \( 2 > 1 \), то \( \log_2 25 < 5 \).

• Так как \( \log_2 25 < 5 \) и \( 4 \sqrt{2} \approx 5.656 > 5 \), то \( \log_2 25 < 4 \sqrt{2} \).

Ответ: \( 2 \log_2 5 + \log_{2^9} 1^9 < 2 \sqrt{8} \).