ГДЗ: Упражнение 404 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо, чтобы аргумент логарифма был положителен:
\( 2 + x - 4x^2 > 0 \)
\( 4x^2 - x - 2 < 0 \).

• Найдем корни уравнения \( 4x^2 - x - 2 = 0 \).
  \( D = (-1)^2 - 4(4)(-2) = 1 + 32 = 33 \)
  \( x_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8} \).

• Решение неравенства: \( x \in \left( \frac{1 - \sqrt{33}}{8}; \frac{1 + \sqrt{33}}{8} \right) \).

2. Решение логарифмического неравенства.

• Представим правую часть в виде логарифма: \( -2 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9 \).

• Неравенство: \( \log_{\frac{1}{3}} (2 + x - 4x^2) > \log_{\frac{1}{3}} 9 \).

• Основание \( a = \frac{1}{3} \) меньше 1, поэтому знак неравенства меняется на противоположный при переходе к аргументам:
  \( 2 + x - 4x^2 < 9 \).

3. Решение квадратного неравенства.

• \( 0 < 4x^2 - x + 7 \).

• Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(4)(7) = 1 - 112 = -111 \).

• Поскольку дискриминант отрицателен \( (D < 0) \) и старший коэффициент \( (4 > 0) \) положителен, парабола всегда находится выше оси ОХ. Неравенство \( 4x^2 - x + 7 > 0 \) верно для всех действительных \( x \).

4. Финальный ответ.

Решение неравенства - это пересечение с ОДЗ:
\( x \in \left( \frac{1 - \sqrt{33}}{8}; \frac{1 + \sqrt{33}}{8} \right) \).

Ответ: \( x \in \left( \frac{1 - \sqrt{33}}{8}; \frac{1 + \sqrt{33}}{8} \right) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо: \( 6x^2 - 36x + 1 > 0 \).

• Найдем корни уравнения \( 6x^2 - 36x + 1 = 0 \).
  \( D = (-36)^2 - 4(6)(1) = 1296 - 24 = 1272 \)
  \( x_{1, 2} = \frac{36 \pm \sqrt{1272}}{12} = \frac{18 \pm \sqrt{318}}{6} \) (т.к. \( 1272 = 4 \cdot 318 \)).

• Решение неравенства: \( x \in \left( -\infty; \frac{18 - \sqrt{318}}{6} \right) \cup \left( \frac{18 + \sqrt{318}}{6}; +\infty \right) \).

2. Решение логарифмического неравенства.

• Основание \( a = \sqrt[5]{3} \). Поскольку \( a = 3^{\frac{1}{5}} > 1 \), знак неравенства сохраняется.

• Представим правую часть в виде логарифма: \( -2 = \log_{\sqrt[5]{3}} (\sqrt[5]{3})^{-2} = \log_{\sqrt[5]{3}} 3^{-\frac{2}{5}} \).

• Неравенство: \( 6x^2 - 36x + 1 > 3^{-\frac{2}{5}} \).

3. Решение квадратного неравенства.

• \( 6x^2 - 36x + 1 - 3^{-\frac{2}{5}} > 0 \).

• Пусть \( C = 1 - 3^{-\frac{2}{5}} \). Поскольку \( 3^{-\frac{2}{5}} \in (0; 1) \), то \( C \in (0; 1) \).

• Корни уравнения \( 6x^2 - 36x + C = 0 \) находятся с помощью дискриминанта:
  \( D' = 36^2 - 4(6)C = 1296 - 24 (1 - 3^{-\frac{2}{5}}) \).

• Поскольку \( D' > 0 \), корни существуют:
  \( x_{3, 4} = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (1 - 3^{-\frac{2}{5}})}}{12} \).

• Решение неравенства: \( x \in (-\infty; x_3) \cup (x_4; +\infty) \).

4. Финальный ответ.

Поскольку \( 1 - 3^{-\frac{2}{5}} > 0 \), то \( C > 1 - 1 = 0 \).
Изначальное ОДЗ требует, чтобы \( 6x^2 - 36x + 1 > 0 \). Поскольку \( 1 - 3^{-\frac{2}{5}} < 1 \), то \( 6x^2 - 36x + 1 - 3^{-\frac{2}{5}} \) является параболой, "сдвинутой" вниз относительно \( 6x^2 - 36x + 1 \).
Следовательно, корни \( x_3, x_4 \) лежат между корнями \( x_1, x_2 \) ОДЗ. Но это не так: \( 1 - 3^{-\frac{2}{5}} > 0 \).

Проверим: \( x^2 - 6x + \frac{1}{6} \) и \( x^2 - 6x + \frac{1 - 3^{-\frac{2}{5}}}{6} \).
Поскольку \( \frac{1}{6} > \frac{1 - 3^{-\frac{2}{5}}}{6} \), то парабола \( 6x^2 - 36x + 1 - 3^{-\frac{2}{5}} \) лежит ниже параболы \( 6x^2 - 36x + 1 \).
Следовательно, \( x_3 < x_1 \) и \( x_4 > x_2 \) (неверно).
Так как \( 6x^2 - 36x + 1 > 3^{-\frac{2}{5}} > 0 \), то решение неравенства автоматически содержится в ОДЗ.

Ответ: \( x \in \left( -\infty; \frac{18 - \sqrt{318 - 6 \cdot 3^{-\frac{2}{5}}}}{6} \right) \cup \left( \frac{18 + \sqrt{318 - 6 \cdot 3^{-\frac{2}{5}}}}{6}; +\infty \right) \).