ГДЗ: Упражнение 396 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x - 4 > 0 \) \( \implies x > 4 \).
2) \( x + 1 > 0 \) \( \implies x > -1 \).

Общее ОДЗ: \( x > 4 \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем все логарифмы к основанию \( \sqrt{6} \).

• Первый член: \( \log_{\frac{1}{\sqrt{6}}} (x-4) = \log_{(\sqrt{6})^{-1}} (x-4) = -\log_{\sqrt{6}} (x-4) \).

Неравенство принимает вид:
\( -\log_{\sqrt{6}} (x-4) + \log_{\sqrt{6}} (x+1) < 2 \)
\( \log_{\sqrt{6}} (x+1) - \log_{\sqrt{6}} (x-4) < 2 \).

3. Применение свойства частного логарифмов.

• \( \log_{\sqrt{6}} \frac{x+1}{x-4} < 2 \).

• Представим правую часть в виде логарифма: \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \log_{\sqrt{6}} \sqrt{6} = \log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6})^2 = \log_{\sqrt{6}} 6 \).

Неравенство:
\( \log_{\sqrt{6}} \frac{x+1}{x-4} < \log_{\sqrt{6}} 6 \).

4. Решение неравенства.

Основание \( a = \sqrt{6} \approx 2.45 \) больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:
\( \frac{x+1}{x-4} < 6 \).

• Перенесем 6 влево:
  \( \frac{x+1}{x-4} - 6 < 0 \)
  \( \frac{x+1 - 6(x-4)}{x-4} < 0 \)
  \( \frac{x+1 - 6x + 24}{x-4} < 0 \)
  \( \frac{-5x + 25}{x-4} < 0 \)
  \( \frac{5(5 - x)}{x-4} < 0 \).

• Умножим на \( -1 \) и поменяем знак неравенства:
  \( \frac{5(x - 5)}{x-4} > 0 \).

• Решим методом интервалов. Нули числителя: \( x = 5 \). Нули знаменателя: \( x = 4 \).

• Интервалы: \( (-\infty; 4) \), \( (4; 5) \), \( (5; +\infty) \). Знаки: \( +, -, + \).

• Нам нужно \( > 0 \): \( x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty) \).

5. Учет ОДЗ.

Пересечение с ОДЗ \( x > 4 \):
\( ( (-\infty; 4) \cup (5; +\infty) ) \cap (4; +\infty) = (5; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (5; +\infty) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x - 5 > 0 \) \( \implies x > 5 \).
2) \( x + 12 > 0 \) \( \implies x > -12 \).

Общее ОДЗ: \( x > 5 \).

2. Приведение к общему основанию.

Основание первого логарифма: \( a_1 = 3 \sqrt{2} \). Основание второго логарифма: \( a_2 = 3 \sqrt{2} \) (вероятно, в учебнике опечатка и оба основания одинаковы).
Пусть основание \( a = 3 \sqrt{2} \) (\( a \approx 4.24 \), \( a > 1 \)).

Первый член (с учетом опечатки): \( \log_{3 \sqrt{2}} (x - 5) \) (вместо \( \log_3 \sqrt{2} \)). Предположим, что знак логарифма перед скобкой относится ко всему основанию \( 3\sqrt{2} \).

Неравенство (с учетом предположения об одинаковом основании):
\( \log_{3 \sqrt{2}} (x - 5) + \log_{3 \sqrt{2}} (x+12) < 2 \).

3. Применение свойства суммы логарифмов.

• \( \log_{3 \sqrt{2}} ((x - 5)(x+12)) < 2 \).

• Представим правую часть в виде логарифма: \( 2 = \log_{3 \sqrt{2}} (3 \sqrt{2})^2 = \log_{3 \sqrt{2}} (9 \cdot 2) = \log_{3 \sqrt{2}} 18 \).

Неравенство:
\( \log_{3 \sqrt{2}} (x^2 + 7x - 60) < \log_{3 \sqrt{2}} 18 \).

4. Решение квадратного неравенства.

Поскольку основание \( 3 \sqrt{2} > 1 \), знак неравенства сохраняется:
\( x^2 + 7x - 60 < 18 \)
\( x^2 + 7x - 78 < 0 \).

• Найдем корни уравнения \( x^2 + 7x - 78 = 0 \).
  \( D = 7^2 - 4(1)(-78) = 49 + 312 = 361 = 19^2 \).

• Корни: \( x_{1, 2} = \frac{-7 \pm 19}{2} \).
  \( x_1 = \frac{12}{2} = 6 \), \( x_2 = \frac{-26}{2} = -13 \).

Решение неравенства \( x^2 + 7x - 78 < 0 \) это интервал между корнями:
\( -13 < x < 6 \).

5. Учет ОДЗ.

Пересечение с ОДЗ \( x > 5 \):
\( (-13; 6) \cap (5; +\infty) = (5; 6) \).

Ответ: \( x \in (5; 6) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( 8x^2 + x > 0 \) \( \implies x(8x+1) > 0 \) \( \implies x \in (-\infty; -\frac{1}{8}) \cup (0; +\infty) \).
2) \( x^4 > 0 \) \( \implies x \ne 0 \).
3) \( x > 0 \).

Общее ОДЗ: \( x > 0 \).

2. Преобразование логарифмов.

• Правая часть: \( \log_3 x^4 + \log_3 x = \log_3 (x^4 \cdot x) = \log_3 x^5 \).

• Левая часть: \( \log_3 (8x^2 + x) + 2 \). Представим 2 как \( \log_3 9 \).
  \( \log_3 (8x^2 + x) + \log_3 9 = \log_3 (9(8x^2 + x)) \).

Неравенство принимает вид:
\( \log_3 (72x^2 + 9x) > \log_3 x^5 \).

3. Решение неравенства.

Основание \( 3 > 1 \), поэтому знак сохраняется:
\( 72x^2 + 9x > x^5 \)
\( x^5 - 72x^2 - 9x < 0 \).

• Разложим на множители, вынося \( x \):
  \( x(x^4 - 72x - 9) < 0 \).

• Рассмотрим функцию \( f(x) = x^4 - 72x - 9 \).

Поскольку ОДЗ \( x > 0 \), то \( x > 0 \) и нам нужно, чтобы \( x^4 - 72x - 9 < 0 \).
Рассмотрим \( f(x) = x^4 - 72x - 9 \).

• При \( x=1 \): \( f(1) = 1 - 72 - 9 = -80 < 0 \).

• При \( x=2 \): \( f(2) = 16 - 72(2) - 9 = 16 - 144 - 9 = -137 < 0 \).

• При \( x=3 \): \( f(3) = 81 - 72(3) - 9 = 81 - 216 - 9 = -144 < 0 \).

• При \( x=4 \): \( f(4) = 256 - 72(4) - 9 = 256 - 288 - 9 = -41 < 0 \).

• При \( x=5 \): \( f(5) = 625 - 72(5) - 9 = 625 - 360 - 9 = 256 > 0 \).

Уравнение \( x^4 - 72x - 9 = 0 \) имеет единственный положительный корень \( x_0 \) между 4 и 5.
Таким образом, \( x^4 - 72x - 9 < 0 \) при \( 0 < x < x_0 \).

4. Финальный ответ.

Решение неравенства: \( 0 < x < x_0 \), где \( x_0 \) - положительный корень уравнения \( x^4 - 72x - 9 = 0 \) (\( 4 < x_0 < 5 \)).

Ответ: \( x \in (0; x_0) \), где \( x_0 \) - положительный корень \( x^4 - 72x - 9 = 0 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо \( x > 0 \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем второй логарифм к основанию 2:
\( \log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{\frac{1}{2}}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_2 x = 2 \log_2 x \).

Неравенство принимает вид:
\( 5 \log_2 x - 10 (2 \log_2 x) > 2 \)
\( 5 \log_2 x - 20 \log_2 x > 2 \).

3. Решение относительно \( \log_2 x \).

• Приведем подобные члены:
  \( -15 \log_2 x > 2 \).

• Разделим на -15 и поменяем знак:
  \( \log_2 x < -\frac{2}{15} \).

4. Нахождение \( x \).

• Представим правую часть в виде логарифма:
  \( \log_2 x < \log_2 2^{-\frac{2}{15}} \).

• Основание \( 2 > 1 \), поэтому знак сохраняется:
  \( x < 2^{-\frac{2}{15}} \).

5. Учет ОДЗ.

Пересечение с ОДЗ \( x > 0 \):
\( 0 < x < 2^{-\frac{2}{15}} \).

Ответ: \( x \in \left( 0; 2^{-\frac{2}{15}} \right) \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x - 10 > 0 \) \( \implies x > 10 \).
2) \( x + 2 > 0 \) \( \implies x > -2 \).

Общее ОДЗ: \( x > 10 \).

2. Применение свойства частного логарифмов.

• \( \log_1 \frac{x - 10}{x + 2} > -1 \).

• Представим правую часть в виде логарифма: \( -1 = \log_1 1^{-1} \) - не имеет смысла, так как основание логарифма не может быть равно 1.

3. Анализ логарифма с основанием 1.

Логарифм \( \log_a b \) определен только для \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \).
Поскольку основание логарифма равно 1, выражение \( \log_1 x \) не определено.

Ответ: Выражение не определено, так как основание логарифма равно 1.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x + 10 > 0 \) \( \implies x > -10 \).
2) \( x + 4 > 0 \) \( \implies x > -4 \).

Общее ОДЗ: \( x > -4 \).

2. Применение свойства частного логарифмов.

• \( \log_{\sqrt{7}} \frac{x + 10}{x + 4} > -2 \).

• Представим правую часть в виде логарифма: \( -2 = \log_{\sqrt{7}} (\sqrt{7})^{-2} = \log_{\sqrt{7}} \frac{1}{7} \).

Неравенство:
\( \log_{\sqrt{7}} \frac{x + 10}{x + 4} > \log_{\sqrt{7}} \frac{1}{7} \).

3. Решение неравенства.

Основание \( a = \sqrt{7} \approx 2.65 \) больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется:
\( \frac{x + 10}{x + 4} > \frac{1}{7} \).

• Перенесем \( \frac{1}{7} \) влево:
  \( \frac{x + 10}{x + 4} - \frac{1}{7} > 0 \)
  \( \frac{7(x + 10) - (x + 4)}{7(x + 4)} > 0 \)
  \( \frac{7x + 70 - x - 4}{7(x + 4)} > 0 \)
  \( \frac{6x + 66}{7(x + 4)} > 0 \)
  \( \frac{6(x + 11)}{7(x + 4)} > 0 \).

• Решим методом интервалов. Нули числителя: \( x = -11 \). Нули знаменателя: \( x = -4 \).

• Нам нужно \( > 0 \): \( x \in (-\infty; -11) \cup (-4; +\infty) \).

4. Учет ОДЗ.

Пересечение с ОДЗ \( x > -4 \):
\( ( (-\infty; -11) \cup (-4; +\infty) ) \cap (-4; +\infty) = (-4; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-4; +\infty) \).