ГДЗ: Упражнение 392 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( 2 - x^2 > 0 \) \( \implies x^2 < 2 \) \( \implies -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \) (т.е. \( -1.414 < x < 1.414 \)).
2) \( -x > 0 \) \( \implies x < 0 \).

Общее ОДЗ: \( -\sqrt{2} < x < 0 \).

2. Применение свойства частного логарифмов.

Уравнение \( \log_3 (2 - x^2) = \log_3 (-x) \).
Поскольку основания логарифмов равны (\( 3 \ne 1 \)), то аргументы также должны быть равны:
\( 2 - x^2 = -x \).

3. Решение квадратного уравнения.

Перенесем все в правую часть:
\( x^2 - x - 2 = 0 \).

• По теореме Виета или через дискриминант: \( (x-2)(x+1) = 0 \).

• Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \).

4. Проверка корней по ОДЗ.

• Корень \( x_1 = 2 \) не принадлежит ОДЗ (\( -\sqrt{2} < x < 0 \)), так как \( 2 > 0 \).

• Корень \( x_2 = -1 \) принадлежит ОДЗ, так как \( -\sqrt{2} \approx -1.414 < -1 < 0 \).

Ответ: \( x = -1 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x^2 - 12 > 0 \) \( \implies x^2 > 12 \) \( \implies x \in (-\infty; -\sqrt{12}) \cup (\sqrt{12}; +\infty) \).
2) \( -x > 0 \) \( \implies x < 0 \).

Общее ОДЗ: \( x < -\sqrt{12} \) (т.е. \( x < -2\sqrt{3} \approx -3.46 \)).

2. Применение свойства частного логарифмов.

Уравнение \( \log_5 (x^2 - 12) = \log_5 (-x) \).
Поскольку основания равны, приравниваем аргументы:
\( x^2 - 12 = -x \).

3. Решение квадратного уравнения.

Перенесем все в левую часть:
\( x^2 + x - 12 = 0 \).

• По теореме Виета: \( (x+4)(x-3) = 0 \).

• Корни: \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 3 \).

4. Проверка корней по ОДЗ.

• Корень \( x_1 = -4 \) принадлежит ОДЗ, так как \( -4 < -\sqrt{12} \approx -3.46 \).

• Корень \( x_2 = 3 \) не принадлежит ОДЗ, так как \( 3 > 0 \).

Ответ: \( x = -4 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x - 3 > 0 \) (для \( \sqrt{x-3} \) и логарифма) \( \implies x > 3 \).
2) \( 3x - 7 > 0 \) (для \( \sqrt{3x - 7} \) и логарифма) \( \implies 3x > 7 \) \( \implies x > \frac{7}{3} \approx 2.33 \).

Общее ОДЗ: \( x > 3 \).

2. Преобразование левой части.

• Используем свойство логарифма степени: \( \log_a b^k = k \log_a b \). Также \( \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} \).

• Первый член: \( 2 \log_2 \sqrt{x-3} = 2 \log_2 (x-3)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 (x-3) = \log_2 (x-3) \).

• Второй член: \( \log_2 \sqrt{3x - 7} = \frac{1}{2} \log_2 (3x - 7) \).

Уравнение принимает вид:
\( \log_2 (x-3) + \frac{1}{2} \log_2 (3x - 7) = 2 \).

3. Умножение на 2 и применение свойства произведения логарифмов.

• Умножим на 2:
  \( 2 \log_2 (x-3) + \log_2 (3x - 7) = 4 \)
  \( \log_2 (x-3)^2 + \log_2 (3x - 7) = 4 \)

• Применим свойство суммы логарифмов:
  \( \log_2 \left( (x-3)^2 (3x - 7) \right) = 4 \).

4. Переход к показательному уравнению.

По определению логарифма: \( (x-3)^2 (3x - 7) = 2^4 = 16 \).

5. Решение кубического уравнения.

• Пробуем целые значения \( x \) из ОДЗ \( (x > 3) \). Попробуем \( x = 4 \):
  Левая часть: \( (4-3)^2 (3 \cdot 4 - 7) = 1^2 (12 - 7) = 1 \cdot 5 = 5 \). \( 5 \ne 16 \).

• Пробуем \( x = 5 \):
  Левая часть: \( (5-3)^2 (3 \cdot 5 - 7) = 2^2 (15 - 7) = 4 \cdot 8 = 32 \). \( 32 \ne 16 \).

• Пробуем \( x = 3.5 = \frac{7}{2} \):
  Левая часть: \( (\frac{7}{2}-3)^2 (3 \cdot \frac{7}{2} - 7) = (\frac{1}{2})^2 (\frac{21}{2} - \frac{14}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{8} \). \( \ne 16 \).

Разложим многочлен:
\( (x^2 - 6x + 9)(3x - 7) = 16 \)
\( 3x^3 - 7x^2 - 18x^2 + 42x + 27x - 63 = 16 \)
\( 3x^3 - 25x^2 + 69x - 79 = 0 \).

С помощью рациональных корней (делители 79): \( \pm 1, \pm 79 \) (не целые, так как 79 простое). Если проверить нецелые, то можно найти корень. Однако, поскольку это учебник, ищем простой корень.
Проверим \( x=3 \) в исходном уравнении: \( 2 \log_2 0 \) - не определен.

Перепроверим условие: Условие \( 2 \log_2 \sqrt{x-3} \) можно преобразовать в \( \log_2 (x-3) \) только при ОДЗ \( x-3>0 \). Это верно.
Проверим, возможно, в учебнике ошибка и имелось в виду \( \log_2 (x-3) + \log_2 (3x-7) = 2 \)?

Если бы было: \( \log_2 (x-3) + \log_2 (3x-7) = 2 \)
\( \log_2 ((x-3)(3x-7)) = 2 \)
\( (x-3)(3x-7) = 4 \)
\( 3x^2 - 7x - 9x + 21 = 4 \)
\( 3x^2 - 16x + 17 = 0 \)
\( D = 16^2 - 4(3)(17) = 256 - 204 = 52 \)
\( x = \frac{16 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{16 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{13}}{3} \).

• \( x_1 = \frac{8 + \sqrt{13}}{3} \approx \frac{8 + 3.6}{3} = 3.87 \). Удовлетворяет ОДЗ \( x>3 \).

• \( x_2 = \frac{8 - \sqrt{13}}{3} \approx \frac{8 - 3.6}{3} = 1.47 \). Не удовлетворяет ОДЗ \( x>3 \).

Возвращаемся к исходному условию: \( 3x^3 - 25x^2 + 69x - 79 = 0 \).

Если предположить, что корень должен быть рациональным, то он должен быть равен \( \frac{p}{q} \), где \( p \) - делитель 79 (\( \pm 1, \pm 79 \)) и \( q \) - делитель 3 (\( \pm 1, \pm 3 \)). Единственный корень - \( x \approx 3.75 \). Но он не является целым.

Если единственным целым корнем, удовлетворяющим ОДЗ, является \( x=4 \) в альтернативном условии, то решение не имеет простого вида. Будем считать, что учебник подразумевает кубическое уравнение, но решение очень сложное, либо есть опечатка.

Поскольку учебник предполагает простой ответ, вернемся к началу и ищем, где может быть опечатка. Если предположить, что \( 2 \log_2 \sqrt{x-3} + \log_2 \sqrt{3x - 7} = 2 \) должно быть \( \log_2 (x-3) + \log_2 (3x-7) = 2 \), то \( x = \frac{8 + \sqrt{13}}{3} \).

Если предположить, что ответ простой:
Если \( x=5 \), то \( 3x^3 - 25x^2 + 69x - 79 = 3(125) - 25(25) + 69(5) - 79 = 375 - 625 + 345 - 79 = 16 \ne 0 \).

Будем считать, что корень иррациональный и оставим решение в виде:
\( x \) - корень уравнения \( 3x^3 - 25x^2 + 69x - 79 = 0 \), удовлетворяющий \( x > 3 \).

Ответ: \( x \) - корень уравнения \( 3x^3 - 25x^2 + 69x - 79 = 0 \), где \( x > 3 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x + 6 > 0 \) \( \implies x > -6 \).
2) \( 2x - 3 > 0 \) (для \( \sqrt{2x - 3} \) и логарифма) \( \implies 2x > 3 \) \( \implies x > 1.5 \).

Общее ОДЗ: \( x > 1.5 \).

2. Применение свойства частного логарифмов.

Перенесем \( \lg 4 \) влево или \( \lg \sqrt{2x - 3} \) вправо. Второй вариант удобнее:
\( \lg (x+6) = \lg 4 + \lg \sqrt{2x - 3} \).

• Применим свойство суммы логарифмов в правой части:
  \( \lg (x+6) = \lg (4 \sqrt{2x - 3}) \).

• Приравняем аргументы:
  \( x+6 = 4 \sqrt{2x - 3} \).

3. Решение иррационального уравнения.

Возведем обе части в квадрат. ОДЗ \( x+6 > 0 \) уже учтено. Дополнительное условие для иррационального уравнения: \( 4 \sqrt{2x - 3} \ge 0 \), что всегда верно для \( x \ge 1.5 \).

• \( (x+6)^2 = (4 \sqrt{2x - 3})^2 \)
  \( x^2 + 12x + 36 = 16 (2x - 3) \)
  \( x^2 + 12x + 36 = 32x - 48 \)

• Приведем к квадратному уравнению:
  \( x^2 - 20x + 84 = 0 \).

• Найдем корни по теореме Виета или дискриминанту: \( x_1 + x_2 = 20 \), \( x_1 x_2 = 84 \).
  Это \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = 14 \) (\( 6+14=20 \), \( 6 \cdot 14=84 \)).

4. Проверка корней по ОДЗ.

Оба корня \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = 14 \) удовлетворяют ОДЗ \( x > 1.5 \).

Ответ: \( x = 6 \) и \( x = 14 \).