ГДЗ: Упражнение 391 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Для всех логарифмов требуется \( x > 0 \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем все логарифмы к основанию 3, используя формулу \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \):

• Второй член: \( \log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{\frac{1}{2}}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 x = 2 \log_3 x \).

• Третий член: \( \log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x \).

Уравнение принимает вид:
\( \log_3 x + 2 \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = \frac{11}{12} \).

3. Решение относительно \( \log_3 x \).

• Вынесем \( \log_3 x \) за скобки:
  \( \log_3 x \left( 1 + 2 + \frac{1}{3} \right) = \frac{11}{12} \)

• Вычислим сумму в скобках:
  \( 1 + 2 + \frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \).

• Уравнение:
  \( \frac{10}{3} \log_3 x = \frac{11}{12} \)

• Найдем \( \log_3 x \):
  \( \log_3 x = \frac{11}{12} \cdot \frac{3}{10} = \frac{11 \cdot 1}{4 \cdot 10} = \frac{11}{40} \).

4. Нахождение \( x \).

По определению логарифма:
\( x = 3^{\frac{11}{40}} \).

Проверим ОДЗ: \( 3^{\frac{11}{40}} > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: \( x = 3^{\frac{11}{40}} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Для всех логарифмов требуется \( x > 0 \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем все логарифмы к основанию 3:

• Второй член: \( \log_{\sqrt[3]{3}} x = \log_{3^{\frac{1}{3}}} x = \frac{1}{\frac{1}{3}} \log_3 x = 3 \log_3 x \).

• Третий член: \( \log_3 x^6 = 6 \log_3 x \) (поскольку \( x > 0 \)).

Уравнение принимает вид:
\( \log_3 x + 3 \log_3 x + 6 \log_3 x = 6 \).

3. Решение относительно \( \log_3 x \).

• Сложим члены:
  \( (1 + 3 + 6) \log_3 x = 6 \)
  \( 10 \log_3 x = 6 \)

• Найдем \( \log_3 x \):
  \( \log_3 x = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).

4. Нахождение \( x \).

По определению логарифма:
\( x = 3^{\frac{3}{5}} \) или \( x = \sqrt[5]{3^3} = \sqrt[5]{27} \).

Ответ: \( x = 3^{\frac{3}{5}} \) или \( x = \sqrt[5]{27} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Для логарифмов требуется \( x > 0 \).

2. Упрощение правой части (правой произведение логарифмов).

Используем формулу перехода к новому основанию: \( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \).
Правая часть: \( 4 \log_2 5 \cdot \log_3 2 \).

• Перепишем \( \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} \).
  Правая часть: \( 4 \log_2 5 \cdot \frac{1}{\log_2 3} \). (Это не упрощает).

• Используем формулу перехода, но наоборот: \( \log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \), \( \log_3 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3} \).
  Правая часть: \( 4 \cdot \frac{\ln 5}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 2}{\ln 3} = 4 \frac{\ln 5}{\ln 3} = 4 \log_3 5 \).

Уравнение принимает вид:
\( \log_5 x \cdot \log_3 x = 4 \log_3 5 \).

3. Приведение левой части к общему основанию.

Приведем левую часть к основанию 3, используя формулу перехода: \( \log_5 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 5} \).
Левая часть: \( \frac{\log_3 x}{\log_3 5} \cdot \log_3 x = \frac{(\log_3 x)^2}{\log_3 5} \).

Уравнение:
\( \frac{(\log_3 x)^2}{\log_3 5} = 4 \log_3 5 \).

4. Решение.

• Умножим обе части на \( \log_3 5 \):
  \( (\log_3 x)^2 = 4 (\log_3 5)^2 \).

• Извлечем квадратный корень:
  \( \log_3 x = \pm \sqrt{4 (\log_3 5)^2} = \pm 2 \log_3 5 \).

• Случай 1: \( \log_3 x = 2 \log_3 5 \).
  \( \log_3 x = \log_3 5^2 \).
  \( x = 25 \).

• Случай 2: \( \log_3 x = -2 \log_3 5 \).
  \( \log_3 x = \log_3 5^{-2} \).
  \( x = 5^{-2} = \frac{1}{25} \).

Оба корня удовлетворяют ОДЗ \( x > 0 \).

Ответ: \( x = 25 \) и \( x = \frac{1}{25} \).