ГДЗ: Упражнение 394 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( 5 + x > 0 \) \( \implies x > -5 \).
2) \( 12 + x > 0 \) \( \implies x > -12 \).
3) Основание логарифма: \( \frac{1}{x^2} > 0 \) и \( \frac{1}{x^2} \ne 1 \), что означает \( x \ne 0 \) и \( x^2 \ne 1 \) (т.е. \( x \ne \pm 1 \)).

Общее ОДЗ: \( x > -5 \), \( x \ne 0 \), \( x \ne \pm 1 \).

2. Упрощение правой части.

Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю:
\( \log_{\frac{1}{x^2}} 1 = 0 \).

Правая часть: \( \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \).

Уравнение принимает вид:
\( \lg \frac{1}{5+x} + \lg \frac{1}{12+x} = 0 \).

3. Преобразование левой части.

• Применим свойство суммы логарифмов:
  \( \lg \left( \frac{1}{5+x} \cdot \frac{1}{12+x} \right) = 0 \)
  \( \lg \left( \frac{1}{(5+x)(12+x)} \right) = 0 \).

• По определению логарифма:
  \( \frac{1}{(5+x)(12+x)} = 10^0 = 1 \).

4. Решение квадратного уравнения.

\( (5+x)(12+x) = 1 \)
\( 60 + 5x + 12x + x^2 = 1 \)
\( x^2 + 17x + 59 = 0 \).

• Дискриминант: \( D = 17^2 - 4(1)(59) = 289 - 236 = 53 \).

• Корни: \( x_{1, 2} = \frac{-17 \pm \sqrt{53}}{2} \).

5. Проверка корней по ОДЗ.

• Проверим \( x > -5 \). Поскольку \( 7^2 = 49 \) и \( 8^2 = 64 \), то \( 7 < \sqrt{53} < 8 \) (\( \sqrt{53} \approx 7.28 \)).

• \( x_1 = \frac{-17 + \sqrt{53}}{2} \approx \frac{-17 + 7.28}{2} = \frac{-9.72}{2} = -4.86 \).
  Поскольку \( -5 < -4.86 \), этот корень удовлетворяет \( x > -5 \). Также \( x \ne 0, \pm 1 \).

• \( x_2 = \frac{-17 - \sqrt{53}}{2} \approx \frac{-17 - 7.28}{2} = -12.14 \).
  Поскольку \( -12.14 < -5 \), этот корень не удовлетворяет \( x > -5 \).

Ответ: \( x = \frac{-17 + \sqrt{53}}{2} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x - 7 > 0 \) \( \implies x > 7 \).
2) Основание логарифма: \( 3 - x > 0 \) и \( 3 - x \ne 1 \).
\( 3 - x > 0 \) \( \implies x < 3 \).
\( 3 - x \ne 1 \) \( \implies x \ne 2 \).

Условия \( x > 7 \) и \( x < 3 \) противоречат друг другу.
Следовательно, ОДЗ пусто. Уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет решений, так как область допустимых значений пуста.