ГДЗ: Упражнение 390 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Преобразование и замена переменной.

Перепишем \( 3^{-x} \) как \( \frac{1}{3^x} \):
\( 3^x - \frac{10}{3^x} = 23 \).

Пусть \( y = 3^x \). Так как показательная функция всегда положительна, то \( y > 0 \).
Уравнение принимает вид:
\( y - \frac{10}{y} = 23 \).

2. Решение квадратного уравнения.

Умножим обе части на \( y \) (поскольку \( y \ne 0 \)):
\( y^2 - 10 = 23y \)
\( y^2 - 23y - 10 = 0 \).

Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
\( D = (-23)^2 - 4(1)(-10) = 529 + 40 = 569 \).

Корни: \( y_{1, 2} = \frac{-(-23) \pm \sqrt{569}}{2} = \frac{23 \pm \sqrt{569}}{2} \).

3. Обратная замена.

Поскольку \( y = 3^x \) должно быть положительным \( (y > 0) \), а \( \sqrt{569} \approx \sqrt{576} = 24 \), то:

• \( y_1 = \frac{23 + \sqrt{569}}{2} > 0 \).

• \( y_2 = \frac{23 - \sqrt{569}}{2} < 0 \) (так как \( 23 < \sqrt{569} \) неверно, \( 23^2 = 529 \), \( \sqrt{569} \approx 23.8 \). Поэтому \( 23 - \sqrt{569} < 0 \)).

Подходит только положительный корень \( y_1 \).
\( 3^x = \frac{23 + \sqrt{569}}{2} \).

4. Нахождение \( x \).

Прологарифмируем обе части по основанию 3:
\( x = \log_3 \left( \frac{23 + \sqrt{569}}{2} \right) \).

Ответ: \( x = \log_3 \left( \frac{23 + \sqrt{569}}{2} \right) \).

1. Упрощение и преобразование.

Уравнение: \( 2^x - 6^x - 2 \cdot 9^x = 0 \) (ошибка в тексте задания в учебнике, возможно, опечатка, исправим, используя наиболее вероятный смысл, если предположить, что в оригинале \( 2^x \cdot 3^x \) было опечаткой и должно быть что-то вроде \( 2 \cdot 3^x \) или другой член. Однако, будем решать как написано, предполагая, что \( 2^x - 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0 \) - опечатка и имелось в виду однородное уравнение: \( a \cdot 9^x + b \cdot 6^x + c \cdot 4^x = 0 \).

Исправленная интерпретация (наиболее вероятная опечатка):
Предположим, что имелось в виду уравнение \( a \cdot 4^x + b \cdot 6^x + c \cdot 9^x = 0 \) или похожие на него. Анализ структуры: \( 3^{2x} = (3^x)^2 = 9^x \), и \( 2^x \cdot 3^x = 6^x \).

Пусть уравнение было:
\( 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 6^x - 2 \cdot 9^x = 0 \) (Это пример однородного показательного уравнения, которого нет в тексте).

Решаем данное в условии: \( 2^x - 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0 \).
Не является однородным. Попробуем решить, разделив на \( 3^{2x} = 9^x \):
\( \frac{2^x}{9^x} - \frac{2^x \cdot 3^x}{9^x} - 2 = 0 \)
\( \left(\frac{2}{9}\right)^x - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0 \).

Пусть \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \), тогда \( y^2 = \left(\frac{4}{9}\right)^x \). Это тоже не сходится.

Вероятная исходная задача: \( 4^x + 2^x 3^x - 2 \cdot 9^x = 0 \) (где \( 4^x = (2^x)^2 \)) или \( 2 \cdot 4^x + 3 \cdot 6^x - 2 \cdot 9^x = 0 \) и т.п.
Предположим, что в тексте была опечатка и должно быть \( 4^x + 2^x 3^x - 2 \cdot 9^x = 0 \).

Решение, основанное на предположении: \( (2^x)^2 + 2^x 3^x - 2 (3^x)^2 = 0 \).
Это однородное показательное уравнение. Разделим на \( (3^x)^2 \) (так как \( 3^x \ne 0 \)):
\( \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 + \frac{2^x}{3^x} - 2 = 0 \)
\( \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x - 2 = 0 \).

Замена: \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \), где \( y > 0 \).
\( y^2 + y - 2 = 0 \).

• По теореме Виета или через дискриминант: \( (y+2)(y-1) = 0 \).

• Корни: \( y_1 = 1 \), \( y_2 = -2 \).

• Отбрасываем \( y_2 = -2 \), так как \( y > 0 \).

• Обратная замена: \( \left(\frac{2}{3}\right)^x = 1 \). Отсюда \( x = 0 \).

Ответ (на основе исправленной интерпретации): \( x = 0 \).

1. Упрощение левой части.

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m a^n = a^{m+n} \).
\( 1,3^{x^2 + (x^2 - 2)} = 3 \)
\( 1,3^{2x^2 - 2} = 3 \).

2. Логарифмирование.

Прологарифмируем обе части по основанию 10 (или любому удобному основанию, например, 1.3):
\( \log_{1,3} (1,3^{2x^2 - 2}) = \log_{1,3} 3 \)
\( 2x^2 - 2 = \log_{1,3} 3 \).

3. Решение квадратного уравнения.

• Выразим \( 2x^2 \):
  \( 2x^2 = 2 + \log_{1,3} 3 \)

• Выразим \( x^2 \):
  \( x^2 = 1 + \frac{1}{2} \log_{1,3} 3 = 1 + \log_{1,3} \sqrt{3} \).

• Поскольку \( 1,3^1 = 1,3 < 3 \) и \( 1,3^2 = 1,69 < 3 \), то \( \log_{1,3} 3 > 0 \), следовательно правая часть положительна, и корни существуют.

• Находим \( x \):
  \( x = \pm \sqrt{1 + \log_{1,3} \sqrt{3}} \).

Ответ: \( x = \pm \sqrt{1 + \log_{1,3} \sqrt{3}} \).

1. Преобразование оснований.

• Перепишем \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \) и \( 1,5 = \frac{3}{2} \).

• Уравнение принимает вид:
  \( (3^{-1})^{5+4x} = \frac{3}{2} \)
  \( 3^{-(5+4x)} = \frac{3}{2} \)
  \( 3^{-5-4x} = 1.5 \).

2. Логарифмирование.

Прологарифмируем обе части по основанию 3:
\( \log_3 (3^{-5-4x}) = \log_3 1.5 \)
\( -5 - 4x = \log_3 1.5 \).

3. Решение линейного уравнения относительно \( x \).

• Выразим \( 4x \):
  \( 4x = -5 - \log_3 1.5 \)

• Выразим \( x \):
  \( x = -\frac{5 + \log_3 1.5}{4} \).

Ответ: \( x = -\frac{5 + \log_3 1.5}{4} \).