ГДЗ: Упражнение 395 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x > 0 \) (для \( \log_2 x \)).
2) \( \frac{2}{x - 1} > 0 \). Поскольку \( 2 > 0 \), то \( x - 1 > 0 \) \( \implies x > 1 \).

Общее ОДЗ: \( x > 1 \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем левую часть к основанию 2, используя \( \log_{\frac{1}{a}} b = -\log_a b \):
\( -\log_2 \frac{2}{x - 1} = \log_2 x \).

• Умножим на -1:
  \( \log_2 \frac{2}{x - 1} = -\log_2 x \).

• Применим свойство логарифма частного в левой части и степени в правой:
  \( \log_2 2 - \log_2 (x - 1) = \log_2 x^{-1} \)
  \( 1 - \log_2 (x - 1) = \log_2 \frac{1}{x} \).

3. Решение логарифмического уравнения.

• Перенесем логарифмы в правую часть:
  \( 1 = \log_2 (x - 1) + \log_2 \frac{1}{x} \).

• Применим свойство суммы логарифмов:
  \( 1 = \log_2 \left( (x - 1) \cdot \frac{1}{x} \right) \)
  \( 1 = \log_2 \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \).

• По определению логарифма:
  \( 1 - \frac{1}{x} = 2^1 = 2 \).

4. Нахождение \( x \).

• \( -\frac{1}{x} = 2 - 1 \)
  \( -\frac{1}{x} = 1 \)
  \( x = -1 \).

5. Проверка корня по ОДЗ.

Корень \( x = -1 \) не удовлетворяет ОДЗ \( x > 1 \).

Ответ: Уравнение не имеет решений.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x > 0 \) (для \( \log_2 x \)).
2) \( \frac{10}{7 - x} > 0 \). Поскольку \( 10 > 0 \), то \( 7 - x > 0 \) \( \implies x < 7 \).

Общее ОДЗ: \( 0 < x < 7 \).

2. Приведение к общему основанию.

Приведем левую часть к основанию 2:
\( -\log_2 \frac{10}{7 - x} = \log_2 x \).

• Умножим на -1:
  \( \log_2 \frac{10}{7 - x} = -\log_2 x \)
  \( \log_2 \frac{10}{7 - x} = \log_2 \frac{1}{x} \).

• Приравняем аргументы:
  \( \frac{10}{7 - x} = \frac{1}{x} \).

3. Решение дробно-рационального уравнения.

• Перекрестное умножение:
  \( 10x = 7 - x \)

• Решение линейного уравнения:
  \( 11x = 7 \)
  \( x = \frac{7}{11} \).

4. Проверка корня по ОДЗ.

Корень \( x = \frac{7}{11} \) удовлетворяет ОДЗ \( 0 < x < 7 \).

Ответ: \( x = \frac{7}{11} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x > 0 \) (для \( \lg x \)).
2) \( \frac{x + 8}{x - 1} > 0 \). На числовой прямой: \( x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty) \).

Общее ОДЗ: \( x > 1 \).

2. Приравнение аргументов.

\( \frac{x + 8}{x - 1} = x \).

3. Решение дробно-рационального уравнения.

• Умножим на \( x-1 \) (так как \( x \ne 1 \) по ОДЗ):
  \( x + 8 = x(x - 1) \)
  \( x + 8 = x^2 - x \)

• Приведем к квадратному уравнению:
  \( x^2 - 2x - 8 = 0 \).

• Найдем корни по теореме Виета: \( (x-4)(x+2) = 0 \).
  \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -2 \).

4. Проверка корней по ОДЗ.

• Корень \( x_1 = 4 \) удовлетворяет ОДЗ \( x > 1 \).

• Корень \( x_2 = -2 \) не удовлетворяет ОДЗ \( x > 1 \).

Ответ: \( x = 4 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x > 0 \) (для \( \lg x \)).
2) \( \frac{x - 4}{x - 2} > 0 \). На числовой прямой: \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \).

Общее ОДЗ: \( x \in (0; 2) \cup (4; +\infty) \).

2. Приравнение аргументов.

\( \frac{x - 4}{x - 2} = x \).

3. Решение дробно-рационального уравнения.

• Умножим на \( x-2 \) (так как \( x \ne 2 \) по ОДЗ):
  \( x - 4 = x(x - 2) \)
  \( x - 4 = x^2 - 2x \)

• Приведем к квадратному уравнению:
  \( x^2 - 3x + 4 = 0 \).

• Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 \).

4. Вывод.

Поскольку дискриминант отрицателен \( (D < 0) \), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет решений.