ГДЗ: Упражнение 389 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Построение графиков функций.

Уравнение \( \log_3 x = \frac{3}{x} \) решается графически путем нахождения точки пересечения графиков двух функций:
\( y_1 = \log_3 x \) (логарифмическая функция с основанием \( 3 > 1 \), возрастающая)
\( y_2 = \frac{3}{x} \) (гипербола, расположенная в I и III четвертях, но здесь только в I, так как ОДЗ \( x > 0 \)).

2. Оценка и подбор точки.

• ОДЗ: \( x > 0 \).

• Пробуем целые значения \( x \):

  • Если \( x = 1 \): \( \log_3 1 = 0 \), \( \frac{3}{1} = 3 \). \( 0 \ne 3 \). \( y_1 < y_2 \).

  • Если \( x = 3 \): \( \log_3 3 = 1 \), \( \frac{3}{3} = 1 \). \( 1 = 1 \). Это корень.

  • Если \( x = 9 \): \( \log_3 9 = 2 \), \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \). \( 2 \ne \frac{1}{3} \). \( y_1 > y_2 \).

3. Графический вывод.

Поскольку логарифмическая функция \( y_1 = \log_3 x \) возрастает, а гипербола \( y_2 = \frac{3}{x} \) убывает на \( (0; +\infty) \), графики могут иметь только одну точку пересечения. Мы нашли эту точку: \( x = 3 \).

Ответ: \( x = 3 \).

1. Построение графиков функций.

Уравнение \( 2^x = \log_2 x \) решается графически путем нахождения точки пересечения графиков двух функций:
\( y_1 = 2^x \) (показательная функция, возрастающая)
\( y_2 = \log_2 x \) (логарифмическая функция, возрастающая)

2. Оценка.

• ОДЗ: \( x > 0 \).

• Функции \( y_1 = 2^x \) и \( y_2 = \log_2 x \) являются взаимно обратными и их графики симметричны относительно прямой \( y = x \).

• Если решение существует, оно должно находиться на прямой \( y = x \). То есть, \( x \) должно удовлетворять \( 2^x = x \) (или \( \log_2 x = x \)).

3. Анализ функции \( f(x) = 2^x - x \).

• Рассмотрим производную: \( f'(x) = 2^x \ln 2 - 1 \).

• Найдем точку минимума, где \( f'(x) = 0 \): \( 2^x \ln 2 = 1 \), то есть \( 2^x = \frac{1}{\ln 2} \approx \frac{1}{0.693} \approx 1.44 \).

• Поскольку \( 2^0 = 1 \) и \( 2^1 = 2 \), минимум достигается при \( x_0 \in (0, 1) \).

• Значение функции в этой точке минимума \( f(x_0) = 2^{x_0} - x_0 = \frac{1}{\ln 2} - x_0 \).

4. Вывод из графика.

Поскольку графики функций \( y = a^x \) и \( y = \log_a x \) (при \( a > 1 \)) симметричны относительно \( y = x \), и функция \( y = 2^x \) растет гораздо быстрее, чем \( y = x \), а \( y = \log_2 x \) растет медленнее, они не пересекаются на прямой \( y = x \).

• При \( x=1 \): \( 2^1 = 2 \), \( \log_2 1 = 0 \). \( 2 \ne 0 \).

• При \( x=2 \): \( 2^2 = 4 \), \( \log_2 2 = 1 \). \( 4 \ne 1 \).

• При \( x \to +\infty \), \( 2^x \) растет гораздо быстрее, чем \( \log_2 x \), и разрыв между ними увеличивается.

• При \( x \to 0 \), \( 2^x \to 1 \), а \( \log_2 x \to -\infty \).

На отрезке \( (0, +\infty) \) нет точек пересечения. Проверим, всегда ли \( 2^x > \log_2 x \) для \( x > 0 \).

• Рассмотрим \( x=0.5 \): \( 2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.414 \). \( \log_2 0.5 = -1 \). \( 1.414 > -1 \).

Поскольку функции не пересекаются, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет решений.