ГДЗ: Упражнение 402 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x + 1 > 0 \) \( \implies x > -1 \).
2) \( x + 3 > 0 \) \( \implies x > -3 \).

Общее ОДЗ: \( x > -1 \).

2. Приведение к одному логарифму.

• Перенесем логарифмы:
  \( 3 = 2 \log_3 (x + 3) - 2 \log_3 (x + 1) \).

• Разделим на 2:
  \( \frac{3}{2} = \log_3 (x + 3) - \log_3 (x + 1) \).

• Применим свойство частного логарифмов:
  \( \frac{3}{2} = \log_3 \frac{x + 3}{x + 1} \).

3. Переход к показательному уравнению.

По определению логарифма:
\( \frac{x + 3}{x + 1} = 3^{\frac{3}{2}} = 3 \sqrt{3} \).

4. Решение линейного уравнения.

• Умножим на \( x + 1 \) (\( x + 1 \ne 0 \) по ОДЗ):
  \( x + 3 = 3 \sqrt{3} (x + 1) \)
  \( x + 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \).

• Сгруппируем члены с \( x \) и без \( x \):
  \( 3 - 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} x - x \)
  \( 3 (1 - \sqrt{3}) = x (3 \sqrt{3} - 1) \).

• Выразим \( x \):
  \( x = \frac{3 (1 - \sqrt{3})}{3 \sqrt{3} - 1} \).

5. Проверка ОДЗ.

Поскольку \( 1 - \sqrt{3} < 0 \) и \( 3 \sqrt{3} - 1 > 0 \), то \( x < 0 \).
ОДЗ требует \( x > -1 \).
Проверим: \( -1 - x = -1 - \frac{3 (1 - \sqrt{3})}{3 \sqrt{3} - 1} = -\frac{3 \sqrt{3} - 1 + 3 - 3 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} - 1} = -\frac{2}{3 \sqrt{3} - 1} \) (ошибка в вычислении).

Пересчет проверки ОДЗ:
Нам нужно, чтобы \( x > -1 \), т.е. \( \frac{3 (1 - \sqrt{3})}{3 \sqrt{3} - 1} > -1 \).
\( \frac{3 (1 - \sqrt{3})}{3 \sqrt{3} - 1} + 1 > 0 \)
\( \frac{3 - 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - 1}{3 \sqrt{3} - 1} > 0 \)
\( \frac{2}{3 \sqrt{3} - 1} > 0 \).

Так как \( 3 \sqrt{3} - 1 \approx 3(1.73) - 1 = 5.19 - 1 = 4.19 > 0 \), то неравенство верно. Корень удовлетворяет ОДЗ.

6. Избавление от иррациональности в знаменателе.

• \( x = \frac{3 (1 - \sqrt{3})}{3 \sqrt{3} - 1} \cdot \frac{3 \sqrt{3} + 1}{3 \sqrt{3} + 1} = \frac{3 (3 \sqrt{3} + 1 - 3 \cdot 3 - \sqrt{3})}{ (3 \sqrt{3})^2 - 1^2 } = \frac{3 (2 \sqrt{3} - 8)}{27 - 1} = \frac{6 (\sqrt{3} - 4)}{26} = \frac{3 (\sqrt{3} - 4)}{13} \).

Ответ: \( x = \frac{3 (\sqrt{3} - 4)}{13} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x > 0 \).
2) \( x + 2 > 0 \) \( \implies x > -2 \).

Общее ОДЗ: \( x > 0 \).

2. Приведение к одному логарифму.

• Уравнение: \( 2 \log_2 x + 6 = 2 \log_2 (x + 2) \).

• Разделим на 2:
  \( \log_2 x + 3 = \log_2 (x + 2) \).

• Представим 3 как логарифм: \( 3 = \log_2 2^3 = \log_2 8 \).

• Уравнение:
  \( \log_2 x + \log_2 8 = \log_2 (x + 2) \)
  \( \log_2 (8x) = \log_2 (x + 2) \).

3. Решение линейного уравнения.

• Приравняем аргументы:
  \( 8x = x + 2 \)

• \( 7x = 2 \)
  \( x = \frac{2}{7} \).

4. Проверка ОДЗ.

Корень \( x = \frac{2}{7} \) удовлетворяет ОДЗ \( x > 0 \).

Ответ: \( x = \frac{2}{7} \).