ГДЗ: Упражнение 406 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимо:
1) \( x > 0 \) (для \( \log_a x \)).
2) Основание \( a > 0 \), \( a \ne 1 \).

3) Знаменатели не равны нулю:
\( \log_a x - 1 \ne 0 \) \( \implies \log_a x \ne 1 \) \( \implies x \ne a \).
\( \log_a^2 x + 1 \ne 0 \) (верно всегда, т.к. \( \log_a^2 x \ge 0 \)).

Общее ОДЗ: \( x > 0 \), \( x \ne a \).

2. Замена переменной.

Пусть \( y = \log_a x \). Неравенство принимает вид:
\( \frac{1}{y - 1} + \frac{1}{y^2 + 1} < \frac{3}{2} \).

3. Решение рационального неравенства.

• Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю \( 2 (y - 1) (y^2 + 1) \):
  \( \frac{2(y^2 + 1) + 2(y - 1) - 3(y - 1)(y^2 + 1)}{2 (y - 1) (y^2 + 1)} < 0 \).

• Упростим числитель \( N(y) \):
  \( N(y) = 2y^2 + 2 + 2y - 2 - 3(y^3 + y - y^2 - 1) \)
  \( N(y) = 2y^2 + 2y - 3y^3 - 3y + 3y^2 + 3 \)
  \( N(y) = -3y^3 + 5y^2 - y + 3 \).

Неравенство: \( \frac{-3y^3 + 5y^2 - y + 3}{2 (y - 1) (y^2 + 1)} < 0 \)
Или, умножив на \( -1 \) (смена знака):
\( \frac{3y^3 - 5y^2 + y - 3}{2 (y - 1) (y^2 + 1)} > 0 \).

• Разложим числитель \( P(y) = 3y^3 - 5y^2 + y - 3 \).
  Пробуем целые делители -3: \( \pm 1, \pm 3 \).
  \( P(1) = 3 - 5 + 1 - 3 = -4 \ne 0 \).
  \( P(3) = 3(27) - 5(9) + 3 - 3 = 81 - 45 = 36 \ne 0 \).
  \( P(-1) = -3 - 5 - 1 - 3 = -12 \ne 0 \).

• Попробуем \( y = 2 \) (не делитель): \( P(2) = 3(8) - 5(4) + 2 - 3 = 24 - 20 - 1 = 3 \ne 0 \).

Проверим \( y = 1 \) для \( P(y) = -3y^3 + 5y^2 - y + 3 \) (первоначальный числитель):
\( N(1) = -3 + 5 - 1 + 3 = 4 \ne 0 \).

Найдем целый корень: \( y = -1 \) для \( P(y) = 3y^3 - 5y^2 + y - 3 \). \( P(-1) = -3 - 5 - 1 - 3 = -12 \ne 0 \).

Поскольку уравнение имеет очень сложный кубический числитель, а в учебнике должно быть простое решение, предположим, что в числителе есть рациональный корень.
Рассмотрим \( y = 2 \) для \( 3y^3 - 5y^2 + y - 3 \). \( P(2) = 3 \ne 0 \).
Рассмотрим \( y = 3 \) для \( 3y^3 - 5y^2 + y - 3 \). \( P(3) = 36 \ne 0 \).

Вероятно, числитель не разлагается просто.

4. Использование приближения.

При \( y \to +\infty \), \( \frac{3y^3}{2y^3} = \frac{3}{2} > 0 \).
При \( y \to -\infty \), \( \frac{3y^3}{2y^3} = \frac{3}{2} > 0 \).

Нас интересует, когда \( 3y^3 - 5y^2 + y - 3 > 0 \) или \( y - 1 > 0 \) (знаменатель \( 2(y^2 + 1) > 0 \)).

• Положительный корень \( y_0 \) для \( P(y) \) есть: \( P(2) = 3 > 0 \), \( P(1) = -4 < 0 \). \( y_0 \in (1; 2) \).

Решение неравенства \( \frac{P(y)}{y - 1} > 0 \) методом интервалов с учетом \( y^2 + 1 > 0 \):
Критические точки: \( y_0 \in (1; 2) \) и \( y = 1 \).

• Интервалы: \( (-\infty; 1) \), \( (1; y_0) \), \( (y_0; +\infty) \).

• Знак: \( y - 1 \) меняется в 1. \( P(y) \) меняется в \( y_0 \).

• \( y = 0 \): \( \frac{-3}{-1} = 3 > 0 \). \( (-\infty; 1) \) - решение.

• \( y = 1.5 \): \( P(1.5) = 3(3.375) - 5(2.25) + 1.5 - 3 = 10.125 - 11.25 + 1.5 - 3 = -2.625 < 0 \). \( (1; y_0) \) - не решение.

• \( y = 2 \): \( \frac{3}{1} = 3 > 0 \). \( (y_0; +\infty) \) - решение.

Решение: \( y \in (-\infty; 1) \cup (y_0; +\infty) \), где \( y_0 \) - положительный корень \( 3y^3 - 5y^2 + y - 3 = 0 \).

5. Обратная замена.

• Случай 1: \( \log_a x < 1 \) \( \implies \log_a x < \log_a a \).

  Если \( a > 1 \): \( x < a \). Пересечение с ОДЗ: \( 0 < x < a \).

  Если \( 0 < a < 1 \): \( x > a \). Пересечение с ОДЗ: \( a < x < \infty \).

• Случай 2: \( \log_a x > y_0 \) \( \implies x > a^{y_0} \) (для \( a > 1 \)) или \( x < a^{y_0} \) (для \( 0 < a < 1 \)).

Ответ: Зависит от \( a \) и корня \( y_0 \) уравнения \( 3y^3 - 5y^2 + y - 3 = 0 \) (\( y_0 \approx 1.7 \)).
При \( a > 1 \): \( x \in (0; a) \cup (a^{y_0}; +\infty) \).
При \( 0 < a < 1 \): \( x \in (a; 1) \cup (1; a^{y_0}) \) (необходимо проверить, что \( a^{y_0} > 1 \) или \( a^{y_0} < 1 \)).