Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 4 / Задание 405

ГДЗ: Упражнение 405 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 113, 114
Глава: Глава 4
Параграф: Глава 4 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

405 упражнение:

Решить уравнение

1) \( \log_2 x \cdot \log_2 (x - 3) + 1 = \log_2 (x^2 - 3x) \)

1. Область допустимых значений (ОДЗ).

Необходимы условия:
1) \( x > 0 \).
2) \( x - 3 > 0 \) \( \implies x > 3 \).
3) \( x^2 - 3x > 0 \) \( \implies x(x - 3) > 0 \) \( \implies x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \).

Общее ОДЗ: \( x > 3 \).

2. Преобразование правой части.

Применим свойство суммы логарифмов:
\( \log_2 (x^2 - 3x) = \log_2 (x(x - 3)) = \log_2 x + \log_2 (x - 3) \) (поскольку \( x > 3 \)).

Уравнение принимает вид:
\( \log_2 x \cdot \log_2 (x - 3) + 1 = \log_2 x + \log_2 (x - 3) \).

3. Замена переменной и решение.

Пусть \( a = \log_2 x \) и \( b = \log_2 (x - 3) \).
Уравнение: \( ab + 1 = a + b \).

  • Перенесем все в левую часть и сгруппируем:
    \( ab - a - b + 1 = 0 \)
    \( a(b - 1) - (b - 1) = 0 \)
    \( (a - 1)(b - 1) = 0 \).

  • Это дает два случая: \( a = 1 \) или \( b = 1 \).

4. Обратная замена.

  • Случай 1: \( a = 1 \).
    \( \log_2 x = 1 \) \( \implies x = 2^1 = 2 \).

  • Случай 2: \( b = 1 \).
    \( \log_2 (x - 3) = 1 \) \( \implies x - 3 = 2^1 = 2 \) \( \implies x = 5 \).

5. Проверка корней по ОДЗ.

  • Корень \( x = 2 \) не удовлетворяет ОДЗ \( x > 3 \).

  • Корень \( x = 5 \) удовлетворяет ОДЗ \( x > 3 \).

Ответ: \( x = 5 \).

Что применять при решении

Определение логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
\( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Основное логарифмическое тождество
Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
Формулы для преобразования логарифмов.
\( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Монотонность логарифмической функции
Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
\( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 4

368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.