ГДЗ: Упражнение 400 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1. Область определения.

• Для логарифма: \( x^2 > 0 \) \( \implies x \ne 0 \).

• Для знаменателя: \( \log_2 x^2 \ne 0 \) \( \implies x^2 \ne 2^0 = 1 \) \( \implies x \ne \pm 1 \).

Область определения: \( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

2. Упрощение выражения.

Используем свойство логарифма: \( \log_a x^k = k \log_a |x| \) (так как \( x^2 > 0 \)).
\( \log_2 x^2 = 2 \log_2 |x| \).

Функция: \( y = \frac{1}{2 \log_2 |x|} \).

3. Четность функции.

\( y(-x) = \frac{1}{2 \log_2 |-x|} = \frac{1}{2 \log_2 |x|} = y(x) \). Функция четная, ее график симметричен относительно оси ОУ. Достаточно построить график для \( x > 0 \) (т.е., \( y = \frac{1}{2 \log_2 x} \)).

4. Построение для \( x > 0 \).

Функция \( y = \frac{1}{2 \log_2 x} \) для \( x > 0 \) и \( x \ne 1 \).

• Асимптоты:
  1) Вертикальная: \( x = 1 \) (где \( \log_2 x = 0 \)). При \( x \to 1^+ \), \( \log_2 x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \). При \( x \to 1^- \) (в ОДЗ), \( \log_2 x \to 0^- \), \( y \to -\infty \).

  
  2) Горизонтальная: \( x \to +\infty \), \( \log_2 x \to +\infty \), \( y \to 0 \). Ось ОХ - горизонтальная асимптота.
  
  3) Вертикальная: \( x = 0 \) (где логарифм уходит в \( -\infty \)). При \( x \to 0^+ \), \( \log_2 x \to -\infty \), \( y \to 0 \). Ось ОУ - не является вертикальной асимптотой, график подходит к \( y=0 \) (асимптота \( y=0 \) только при \( x \to \pm\infty \)).

• Ключевые точки:
  Если \( x = 2 \): \( y = \frac{1}{2 \log_2 2} = \frac{1}{2} \).
  Если \( x = 4 \): \( y = \frac{1}{2 \log_2 4} = \frac{1}{4} \).
  Если \( x = \frac{1}{2} \): \( y = \frac{1}{2 \log_2 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 (-1)} = -\frac{1}{2} \).

5. График.

График состоит из двух ветвей для \( x > 0 \) и двух симметричных ветвей для \( x < 0 \), разделенных вертикальными асимптотами \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Для \( x \in (1; +\infty) \): функция убывает от \( +\infty \) до 0, асимптоты \( x=1 \) и \( y=0 \).
Для \( x \in (0; 1) \): функция убывает от 0 до \( -\infty \), асимптоты \( x=1 \) и \( x=0 \) (подход к оси ОХ).

1. Область определения.

• Для логарифма: \( x^2 > 0 \) \( \implies x \ne 0 \).

• Для знаменателя: \( \ln x^2 \ne 0 \) \( \implies x^2 \ne e^0 = 1 \) \( \implies x \ne \pm 1 \).

Область определения: \( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

2. Упрощение выражения.

\( \ln x^2 = 2 \ln |x| \).
Функция: \( y = \frac{1}{2 \ln |x|} \).

3. Четность функции.

Функция четная, график симметричен относительно оси ОУ. Достаточно построить для \( x > 0 \) (т.е., \( y = \frac{1}{2 \ln x} \)).

4. Построение для \( x > 0 \).

Функция \( y = \frac{1}{2 \ln x} \) для \( x > 0 \) и \( x \ne 1 \).

• Асимптоты:
  1) Вертикальная: \( x = 1 \) (где \( \ln x = 0 \)). При \( x \to 1^+ \), \( \ln x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \). При \( x \to 1^- \) (в ОДЗ), \( \ln x \to 0^- \), \( y \to -\infty \).

  
  2) Горизонтальная: \( x \to +\infty \), \( \ln x \to +\infty \), \( y \to 0 \). Ось ОХ - горизонтальная асимптота.
  
  3) Вертикальная: \( x = 0 \). При \( x \to 0^+ \), \( \ln x \to -\infty \), \( y \to 0 \).

• Ключевые точки:
  Если \( x = e \): \( y = \frac{1}{2 \ln e} = \frac{1}{2} \).
  Если \( x = e^2 \): \( y = \frac{1}{2 \ln e^2} = \frac{1}{4} \).
  Если \( x = \frac{1}{e} \): \( y = \frac{1}{2 \ln \frac{1}{e}} = \frac{1}{2 (-1)} = -\frac{1}{2} \).

5. График.

График имеет ту же форму, что и в варианте 1, но масштабирован по горизонтали из-за другого основания логарифма.