Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 4 / Задание 384

ГДЗ: Упражнение 384 - Глава 4 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 113, 114
Глава: Глава 4
Параграф: Глава 4 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

384 упражнение:

Вычислить:

1) \( \frac{1}{\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3}} \)

Шаг 1: Вычислим логарифм в знаменателе. Представим основание \( \sqrt{3} \) и аргумент \( 3\sqrt{3} \) как степени числа \( 3 \).

  • \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \)
  • \( 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} \)

    • Шаг 2: Подставим в логарифм и используем свойство \( \log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b \).

  • \( \log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3 \)

    • Шаг 3: Найдем обратную величину.

  • \( \frac{1}{3} \)

    • Ответ: \( \frac{1}{3} \)

    2) \( \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt{5}} \)

    Шаг 1: Представим основание \( \sqrt{5} \) и аргумент \( \frac{1}{25\sqrt{5}} \) как степени числа \( 5 \).

  • \( \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \)
  • \( \frac{1}{25\sqrt{5}} = (25\sqrt{5})^{-1} = (5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{-1} = (5^{2,5})^{-1} = 5^{-2,5} = 5^{-\frac{5}{2}} \)

    • Шаг 2: Подставим в логарифм и используем свойство \( \log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b \).

  • \( \log_{\sqrt{5}} \frac{1}{25\sqrt{5}} = \log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{-\frac{5}{2}} = \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} \log_5 5 = -5 \cdot 1 = -5 \)

    • Ответ: \( -5 \)

    3) \( 2^{2 - \log_{2} 5} \)

    Шаг 1: Разложим степень, используя свойство \( a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \).

  • \( 2^{2 - \log_{2} 5} = \frac{2^2}{2^{\log_{2} 5}} \)

    • Шаг 2: Применим основное логарифмическое тождество в знаменателе и вычислим числитель.

  • \( \frac{4}{5} \)

    • Ответ: \( \frac{4}{5} \) или \( 0,8 \)

    4) \( 3,6^{\log_{3,6} 10 + 1} \)

    Шаг 1: Разложим степень, используя свойство \( a^{x+y} = a^x a^y \).

  • \( 3,6^{\log_{3,6} 10 + 1} = 3,6^{\log_{3,6} 10} \cdot 3,6^1 \)

    • Шаг 2: Применим основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \).

  • \( 3,6^{\log_{3,6} 10} = 10 \)

    • Шаг 3: Выполним умножение.

  • \( 10 \cdot 3,6 = 36 \)

    • Ответ: \( 36 \)

    5) \( 2 \log_5 5 + 3 \log_5 8 \)

    Уточнение: В задании, скорее всего, опечатка, и имелось в виду \( 2 \log_5 5 + \log_5 8 \) или \( \log_5 2 \cdot \log_5 8 \) или что-то подобное. Если это опечатка, и это логарифм произведения, то это \( \log_5 (2 \cdot 5^5) + \log_5 8 \) или \( \log_5 5^2 + \log_5 8^3 \).
    Наиболее вероятно, что первое слагаемое содержит ошибку, но исходя из формулировки, должно быть \( 2 \log_{5} 5 \cdot 5 + 3 \log_{5} 8 \) или \( 2 \log_5 (5 \sqrt{5}) + 3 \log_5 8 \).
    Будем считать, что по свойству логарифма: \( 2 \log_5 5 + 3 \log_5 8 \) как сумму логарифмов, несмотря на отсутствие разделителя между первым \( 5 \) и вторым \( 5 \).

    Если считать: \( 2 \log_{5} 5 \cdot 5 + 3 \log_{5} 8 \), где \( 5 \cdot 5 = 25 \):

  • \( 2 \log_{5} 25 + 3 \log_{5} 8 = 2 \cdot 2 + 3 \log_{5} 8 = 4 + 3 \log_{5} 8 \) (не целое число)

    • Если считать: \( 2 \log_{5} \sqrt{5} + 3 \log_{5} 8 \) как наиболее вероятное целое выражение:

  • \( 2 \log_{5} 5^{\frac{1}{2}} + 3 \log_{5} 8 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \log_{5} 8 = 1 + 3 \log_{5} 8 \) (не целое число)

    • Если считать: \( 2 \log_5 5^{\sqrt{5}} + 3 \log_5 8 \)

  • \( 2 \log_5 5 + 3 \log_5 8 = 2 \cdot 1 + 3 \log_5 8 = 2 + 3 \log_5 8 \) (не целое число)

    • Единственная интерпретация, дающая целое число, обычно является верной для такого типа задач. Вероятно, это должно быть: \( \log_5 2 + \log_5 5 + 3 \log_5 8 \) или опечатка на знаке, например, \( \log_5 2 \cdot 5 + \log_5 8 \).

    Примем вариант, который дает целое число, исходя из типичных ошибок в учебниках:

    Пусть это: \( \log_2 5 + \log_2 5 + 3 \log_2 8 \) (что не соответствует записи).

    Возьмем дословно: \( 2 \log_{5} 5 + 3 \log_{5} 8 \)

  • \( 2 \log_{5} 5 = 2 \cdot 1 = 2 \)
  • \( 3 \log_{5} 8 = \log_{5} 8^3 = \log_{5} 512 \)
  • \( 2 + \log_{5} 512 \)

    • Оставим наиболее простое вычисление: \( 2 + \log_{5} 512 \)

    6) \( \log_{2} \log_{2} 2^{16} \)

    Шаг 1: Вычислим внутренний логарифм, используя свойство \( \log_a a^p = p \).

  • \( \log_{2} 2^{16} = 16 \)

    • Шаг 2: Подставим результат в оставшийся логарифм.

  • \( \log_{2} 16 \)

    • Шаг 3: Представим аргумент \( 16 \) как степень основания \( 2 \).

  • \( \log_{2} 16 = \log_{2} 2^4 = 4 \)

    • Ответ: \( 4 \)

    Что применять при решении

    Определение логарифма
    Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(x\), в которую нужно возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\).
    \( \log_a b = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
    Основное логарифмическое тождество
    Основание \(a\), возведенное в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), равно числу \(b\).
    \( a^{\log_a b} = b \quad (a > 0, a \ne 1, b > 0) \)
    Свойства логарифмов (произведение, частное, степень)
    Формулы для преобразования логарифмов.
    \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c; \quad \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c; \quad \log_a b^p = p \log_a b \)
    Формула перехода к новому основанию
    Позволяет выразить логарифм по основанию \(a\) через логарифмы по новому основанию \(c\).
    \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
    Монотонность логарифмической функции
    Функция \( y = \log_a x \) возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \).
    \( a > 1 \Rightarrow \text{возрастает}; \quad 0 < a < 1 \Rightarrow \text{убывает} \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 4

    368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.