ГДЗ: Упражнение 961 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Это парабола, ветви направлены вверх (\( a=3 > 0 \)).

Шаг 1: Координаты вершины параболы (экстремум).

\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(3)} = \frac{6}{6} = 1 \). Вершина \( x=1 \).

Так как \( x=1 \) лежит на отрезке \( [0; 3] \), это будет точка минимума на отрезке.

\( y(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2 \).

Шаг 2: Значения на концах отрезка.

\n
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 5 = 5 \).
\n
• При \( x = 3 \): \( y(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 5 = 27 - 18 + 5 = 14 \).
\n

Шаг 3: Построение графика.

Нужно построить часть параболы, проходящую через точки \((0; 5)\), \((1; 2)\) (минимум) и \((3; 14)\). Наименьшее значение - 2, наибольшее - 14.

Ответ: См. шаги 1-2 и изображение графика параболы \( y = 3x^2 - 6x + 5 \) на отрезке \( [0; 3] \). ]

Шаг 1: Нахождение первой производной и критических точек.

\( y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 2)' = x^3 - 2x^2 + 3x \).

Приравниваем к нулю: \( x^3 - 2x^2 + 3x = 0 \).

\( x(x^2 - 2x + 3) = 0 \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \) или \( x^2 - 2x + 3 = 0 \).

Для квадратного трехчлена \( x^2 - 2x + 3 \) дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0 \). Так как \( a=1 > 0 \), то \( x^2 - 2x + 3 > 0 \) для всех \( x \). Единственная критическая точка: \( x = 0 \).

Шаг 2: Исследование монотонности и экстремума.

Поскольку \( x^2 - 2x + 3 > 0 \), знак \( y' = x(x^2 - 2x + 3) \) определяется знаком \( x \).

\n
• При \( x < 0 \): \( y' < 0 \) (убывание).
\n
• При \( x > 0 \): \( y' > 0 \) (возрастание).
\n

Точка \( x = 0 \) является точкой минимума. Эта точка лежит на отрезке \( [-2; 4] \).

Шаг 3: Значения функции в критической точке и на концах отрезка.

\n
• Критическая точка (\( x=0 \)): \( y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 + 2 = 2 \).
\n
• Конец отрезка (\( x=-2 \)): \( y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{2}{3}(-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 + 2 = 4 - \frac{2}{3}(-8) + 6 + 2 = 12 + \frac{16}{3} = 12 + 5\frac{1}{3} = 17\frac{1}{3} \approx 17.33 \).
\n
• Конец отрезка (\( x=4 \)): \( y(4) = \frac{1}{4}(4)^4 - \frac{2}{3}(4)^3 + \frac{3}{2}(4)^2 + 2 = 64 - \frac{128}{3} + 24 + 2 = 90 - 42\frac{2}{3} = 47\frac{1}{3} \approx 47.33 \).
\n

Шаг 4: Построение графика.

График имеет минимум в \((0; 2)\) и проходит через \((-2; 17\frac{1}{3})\) и \((4; 47\frac{1}{3})\). ]

Ответ: См. шаги 1-3 и изображение графика. Наименьшее значение 2, наибольшее \( 47\frac{1}{3} \).