Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 9 / Задание 967
| Глава: | Глава 9 |
|---|---|
| Параграф: | Глава 9 - Итоговые упражнения |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Нахождение области определения.
\nФункция \( y = x(1 + 2 \sqrt{x}) = x + 2x \sqrt{x} = x + 2x^{3/2} \). Область определения определяется выражением \( \sqrt{x} \), то есть \( x \geq 0 \). \( D(y) = [0; +\infty) \).
\nШаг 2: Нахождение первой производной.
\n\( y' = (x + 2x^{3/2})' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = 1 + 3 x^{1/2} = 1 + 3 \sqrt{x} \).
\nШаг 3: Доказательство, что \( y' > 0 \) для всех \( x \) из области определения.
\nНа области определения \( x \geq 0 \), выражение \( \sqrt{x} \geq 0 \).
\nСледовательно, \( 3 \sqrt{x} \geq 0 \), и \( y' = 1 + 3 \sqrt{x} \geq 1 \).
\nТак как \( y' > 0 \) для всех \( x \in (0; +\infty) \) и \( y'(0) = 1 \), производная положительна на всей области определения \( [0; +\infty) \).
\nВывод: Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция **возрастает** на всей области определения.
\nОтвет: Доказано (см. шаги 1-3).
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
