ГДЗ: Упражнение 975 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первой и второй производной.

Первая производная: \( f'(x) = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2 \).

Вторая производная: \( f''(x) = (12x - 3x^2)' = 12 - 6x \).

Шаг 2: Нахождение нулей второй производной.

Приравниваем вторую производную к нулю: \( 12 - 6x = 0 \).

\( 6x = 12 \implies x = 2 \).

Шаг 3: Исследование знака второй производной.

Исследуем знак \( f''(x) = 12 - 6x \).

\n
• Если \( x < 2 \): \( f''(x) > 0 \) (выпуклость вниз).
\n
• Если \( x > 2 \): \( f''(x) < 0 \) (выпуклость вверх).
\n

В точке \( x=2 \) вторая производная меняет знак. Это **точка перегиба**.

Значение функции в точке перегиба: \( f(2) = 6(2)^2 - 2^3 = 24 - 8 = 16 \).

Ответ: Точка перегиба \( x = 2 \).

Шаг 1: Нахождение первой и второй производной.

Первая производная: \( f'(x) = (3x^2 + 4x^3)' = 6x + 12x^2 \).

Вторая производная: \( f''(x) = (6x + 12x^2)' = 6 + 24x \).

Шаг 2: Нахождение нулей второй производной.

Приравниваем вторую производную к нулю: \( 6 + 24x = 0 \).

\( 24x = -6 \implies x = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4} \).

Шаг 3: Исследование знака второй производной.

Исследуем знак \( f''(x) = 6 + 24x \).

\n
• Если \( x < -1/4 \): \( f''(x) < 0 \) (выпуклость вверх).
\n
• Если \( x > -1/4 \): \( f''(x) > 0 \) (выпуклость вниз).
\n

В точке \( x = -1/4 \) вторая производная меняет знак. Это **точка перегиба**.

Значение функции в точке перегиба: \( f(-1/4) = 3(-\frac{1}{4})^2 + 4(-\frac{1}{4})^3 = 3\frac{1}{16} + 4(-\frac{1}{64}) = \frac{3}{16} - \frac{4}{64} = \frac{3}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \).

Ответ: Точка перегиба \( x = -1/4 \).