ГДЗ: Упражнение 981 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Область определения.

\( x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1 \). \( D(y) = [-1; +\infty) \).

Шаг 2: Точки пересечения с осями.

Перепишем: \( y = (x - 1)(x + 1)\sqrt{x + 1} = (x - 1)(x + 1)^{3/2} \).

\n
• С осью \( Oy \) (\( x=0 \)): \( y(0) = (0^2 - 1)\sqrt{0 + 1} = -1 \cdot 1 = -1 \). Точка \((0; -1)\).
\n
• С осью \( Ox \) (\( y=0 \)): \( (x^2 - 1)\sqrt{x + 1} = 0 \). \( x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 \) (т.к. \( x \geq -1 \)) или \( \sqrt{x + 1} = 0 \implies x = -1 \). Точки \((-1; 0)\) и \((1; 0)\).
\n

Шаг 3: Исследование на экстремумы и монотонность.

Производная (правило произведения): \( y' = (x - 1)' (x + 1)^{3/2} + (x - 1) ( (x + 1)^{3/2} )' \).

\( y' = 1 \cdot (x + 1)^{3/2} + (x - 1) \cdot \frac{3}{2} (x + 1)^{1/2} \).

Вынесем общий множитель \( \frac{1}{2} \sqrt{x + 1} \):

\( y' = \frac{1}{2} \sqrt{x + 1} \left[ 2(x + 1) + 3(x - 1) \right] \)

\( y' = \frac{\sqrt{x + 1}}{2} (2x + 2 + 3x - 3) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2} (5x - 1) \).

Критические точки: \( y'=0 \).

\n
• \( \sqrt{x + 1} = 0 \implies x = -1 \). (Начало области определения, возможно, минимум).
\n
• \( 5x - 1 = 0 \implies x = 1/5 = 0.2 \). (Внутренняя точка).
\n

Исследуем знак \( y' \) на интервалах \( (-1; 1/5) \) и \( (1/5; +\infty) \):

\n
• \( (-1; 1/5) \): \( 5x - 1 < 0 \). \( y' < 0 \) (убывание).
\n
• \( (1/5; +\infty) \): \( 5x - 1 > 0 \). \( y' > 0 \) (возрастание).
\n

Экстремумы: \( x = 1/5 \) — **точка минимума**. \( y_{min} = y(1/5) = ((\frac{1}{5})^2 - 1)\sqrt{\frac{1}{5} + 1} = (\frac{1}{25} - 1)\sqrt{\frac{6}{5}} = -\frac{24}{25} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \approx -1.05 \).

Шаг 4: Построение графика.

График начинается в \((-1; 0)\), убывает до минимума \((0.2; -1.05)\), проходит через \((0; -1)\), \((1; 0)\) и возрастает далее.

Ответ: См. шаги 1-3 и изображение графика.

Шаг 1: Область определения и точки пересечения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Пересечение с \( Ox \) (\( y=0 \)): \( |x|=0 \implies x=0 \) или \( 1+3x=0 \implies x=-1/3 \). Точки \((0; 0)\) и \((-1/3; 0)\).

Шаг 2: Производная и критические точки (по интервалам).

Рассмотрим два случая: \( x > 0 \) (\( y = x(1 + 3x)^{1/3} \)) и \( x < 0 \) (\( y = -x(1 + 3x)^{1/3} \)).

Случай 1: \( x > 0 \) (\( y = x (1 + 3x)^{1/3} \))

\( y' = 1 \cdot (1 + 3x)^{1/3} + x \cdot \frac{1}{3} (1 + 3x)^{-2/3} \cdot 3 = (1 + 3x)^{1/3} + x (1 + 3x)^{-2/3} \)

\( y' = \frac{1 + 3x}{(1 + 3x)^{2/3}} + \frac{x}{(1 + 3x)^{2/3}} = \frac{1 + 4x}{(1 + 3x)^{2/3}} \).

Для \( x > 0 \), \( 1 + 4x > 1 \), \( y' > 0 \). На интервале \( (0; +\infty) \) функция **возрастает**.

Случай 2: \( x < 0 \) (\( y = -x (1 + 3x)^{1/3} \))

\( y' = -\left[ (1 + 3x)^{1/3} + x (1 + 3x)^{-2/3} \right] = -\frac{1 + 4x}{(1 + 3x)^{2/3}} \).

Критические точки (\( y'=0 \)): \( 1 + 4x = 0 \implies x = -1/4 \). (Внутренняя точка).

Точки, где \( y' \) не существует: \( 1 + 3x = 0 \implies x = -1/3 \). (Также внутренняя точка).

Исследование знака \( y' \) на интервалах \( (-\infty; -1/3) \), \( (-1/3; -1/4) \), \( (-1/4; 0) \):

\n
• \( (-\infty; -1/3) \): Возьмем \( x=-1 \). \( -\frac{1 - 4}{(1 - 3)^{2/3}} = -\frac{-3}{\sqrt[3]{4}} > 0 \). (Возрастание).
\n
• \( (-1/3; -1/4) \): \( 1 + 4x < 0 \). \( y' > 0 \). (Возрастание).
\n
• \( (-1/4; 0) \): \( 1 + 4x > 0 \). \( y' < 0 \). (Убывание).
\n

Экстремумы: \( x = -1/4 \) — **точка максимума**.

Проверим \( x=0 \): \( \lim_{x \to 0^+} y' = 1 \), \( \lim_{x \to 0^-} y' = -1 \). В \( x=0 \) производная не существует. Так как меняется знак с \(-\) на \(+\) (\( y' < 0 \) слева, \( y' > 0 \) справа), \( x=0 \) — **точка минимума**.

Ответ: Точка максимума \( x = -1/4 \). Точка минимума \( x = 0 \).

Шаг 1: Область определения и точки пересечения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Пересечение с \( Ox \) (\( y=0 \)): \( x^2 e^{-x} = 0 \implies x = 0 \). Точка \((0; 0)\).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

\( y' = (x^2 e^{-x})' = (x^2)' e^{-x} + x^2 (e^{-x})' = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = x e^{-x} (2 - x) \).

Критические точки (\( y'=0 \)): \( x = 0 \) и \( 2 - x = 0 \implies x = 2 \). (Так как \( e^{-x} > 0 \)).

Шаг 3: Исследование знака производной.

Знак \( y' \) определяется знаком \( x (2 - x) \).

\n
• \( (-\infty; 0) \): \( x < 0 \), \( 2 - x > 0 \). \( y' < 0 \) (убывание).
\n
• \( (0; 2) \): \( x > 0 \), \( 2 - x > 0 \). \( y' > 0 \) (возрастание).
\n
• \( (2; +\infty) \): \( x > 0 \), \( 2 - x < 0 \). \( y' < 0 \) (убывание).
\n

Экстремумы:

\n
• При \( x = 0 \): знак меняется с \(-\) на \(+\). \( x = 0 \) — **точка минимума**. \( y_{min} = y(0) = 0 \).
\n
• При \( x = 2 \): знак меняется с \(+\) на \(-\). \( x = 2 \) — **точка максимума**. \( y_{max} = y(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2} \approx 0.54 \).
\n

Шаг 4: Построение графика.

График имеет минимум \((0; 0)\) и максимум \((2; 4e^{-2})\). При \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \). При \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \).

Ответ: См. шаги 1-3 и изображение графика.

Шаг 1: Область определения и точки пересечения.

\( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Пересечение с \( Ox \) (\( y=0 \)): \( x^3 e^{-x} = 0 \implies x = 0 \). Точка \((0; 0)\).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

\( y' = (x^3 e^{-x})' = (x^3)' e^{-x} + x^3 (e^{-x})' = 3x^2 e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = x^2 e^{-x} (3 - x) \).

Критические точки (\( y'=0 \)): \( x = 0 \) и \( 3 - x = 0 \implies x = 3 \).

Шаг 3: Исследование знака производной.

Знак \( y' \) определяется знаком \( (3 - x) \), так как \( x^2 e^{-x} \geq 0 \).

\n
• \( (-\infty; 0) \): \( 3 - x > 0 \). \( y' > 0 \) (возрастание).
\n
• \( (0; 3) \): \( 3 - x > 0 \). \( y' > 0 \) (возрастание).
\n
• \( (3; +\infty) \): \( 3 - x < 0 \). \( y' < 0 \) (убывание).
\n

Экстремумы:

\n
• При \( x = 0 \): знак не меняется. Не экстремум.
\n
• При \( x = 3 \): знак меняется с \(+\) на \(-\). \( x = 3 \) — **точка максимума**. \( y_{max} = y(3) = 3^3 e^{-3} = 27e^{-3} \approx 1.34 \).
\n

Шаг 4: Построение графика.

График имеет точку перегиба \( (0; 0) \) (где \( y' = 0 \) и \( y' \) не меняет знак), максимум \((3; 27e^{-3})\).

Ответ: См. шаги 1-3 и изображение графика.