ГДЗ: Упражнение 974 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Формула, связывающая стороны и диагонали.

Пусть стороны параллелограмма равны \( x \) и \( y \), а диагонали \( d_1 \) и \( d_2 \). Известна формула: \( 2(x^2 + y^2) = d_1^2 + d_2^2 \).

Нужно минимизировать сумму квадратов всех сторон, то есть \( 2(x^2 + y^2) \), что эквивалентно минимизации \( d_1^2 + d_2^2 \).

По условию, сумма диагоналей постоянна: \( d_1 + d_2 = a \), откуда \( d_2 = a - d_1 \).

Шаг 2: Составление функции для минимизации.

Пусть \( f(d_1) = d_1^2 + d_2^2 \). Подставляем \( d_2 \):

\( f(d_1) = d_1^2 + (a - d_1)^2 = d_1^2 + a^2 - 2ad_1 + d_1^2 = 2d_1^2 - 2ad_1 + a^2 \).

Ограничения: \( 0 < d_1 < a \).

Шаг 3: Нахождение первой производной \( f'(d_1) \).

\( f'(d_1) = (2d_1^2 - 2ad_1 + a^2)' = 4d_1 - 2a \).

Шаг 4: Нахождение критической точки.

Приравниваем производную к нулю: \( f'(d_1) = 0 \).

\( 4d_1 - 2a = 0 \implies d_1 = 2a/4 = a/2 \).

Если \( d_1 = a/2 \), то \( d_2 = a - a/2 = a/2 \). Диагонали равны: \( d_1 = d_2 \).

Шаг 5: Определение наименьшего значения.

Вторая производная: \( f''(d_1) = 4 > 0 \). Это **минимум**.

Наименьшее значение суммы квадратов диагоналей (и, следовательно, суммы квадратов сторон) достигается при \( d_1 = a/2 \).

Наименьшее значение суммы квадратов диагоналей:

\( f_{min} = f(a/2) = 2(\frac{a}{2})^2 - 2a(\frac{a}{2}) + a^2 = 2\frac{a^2}{4} - a^2 + a^2 = \frac{a^2}{2} \).

Наименьшее значение суммы квадратов всех сторон параллелограмма равно наименьшему значению суммы квадратов диагоналей:

\( 2(x^2 + y^2)_{min} = (d_1^2 + d_2^2)_{min} = \frac{a^2}{2} \).

Примечание: Равенство диагоналей \( d_1 = d_2 \) означает, что параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Наименьшее значение суммы квадратов всех сторон равно \( \frac{a^2}{2} \).