ГДЗ: Упражнение 963 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составление функции для минимизации.

Пусть стороны прямоугольника равны \( x \) и \( y \). Периметр \( P \) задан и постоянен:

\( P = 2(x + y) \), откуда \( y = \frac{P}{2} - x \). Обозначим \( \frac{P}{2} = L \), тогда \( y = L - x \).

Диагональ прямоугольника \( d \) по теореме Пифагора: \( d = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Минимизация \( d \) эквивалентна минимизации \( d^2 = x^2 + y^2 \). Пусть \( f(x) = d^2 \).

Подставляем \( y = L - x \): \( f(x) = x^2 + (L - x)^2 \).

Шаг 2: Нахождение первой производной.

\( f'(x) = (x^2 + (L - x)^2)' = 2x + 2(L - x) \cdot (L - x)' = 2x + 2(L - x) \cdot (-1) \)

\( f'(x) = 2x - 2L + 2x = 4x - 2L \).

Шаг 3: Нахождение критической точки.

Приравниваем производную к нулю: \( f'(x) = 0 \).

\( 4x - 2L = 0 \implies x = \frac{2L}{4} = \frac{L}{2} \).

Подставляем обратно \( L = \frac{P}{2} \): \( x = \frac{P}{4} \).

Шаг 4: Проверка, что это минимум (с помощью второй производной).

Вторая производная: \( f''(x) = (4x - 2L)' = 4 \).

Так как \( f''(x) = 4 > 0 \), в точке \( x = \frac{L}{2} \) функция \( f(x) = d^2 \) имеет **минимум**.

Шаг 5: Определение формы прямоугольника.

Если \( x = \frac{L}{2} \), то \( y = L - x = L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} \).

Следовательно, \( x = y \), то есть прямоугольник является квадратом.

Вывод: Диагональ \( d \) минимальна, когда стороны прямоугольника равны, т.е., когда он является квадратом.

Ответ: Доказано, что наименьшую диагональ имеет квадрат.