Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 9 / Задание 969

ГДЗ: Упражнение 969 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 287, 288, 289, 290
Глава: Глава 9
Параграф: Глава 9 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

969 упражнение:

На рисунке 148 изображен график функции \( y = g(x) \), являющейся производной функции \( y = f(x) \). Найти:

1) интервалы возрастания и убывания функции \( y = f(x) \)

Ключевой принцип: Функция \( f(x) \) возрастает, когда её производная \( f'(x) = g(x) > 0 \), и убывает, когда \( f'(x) = g(x) < 0 \).

\n

На графике \( y=g(x) \) (рис. 148а):

\n
    \n
  • \( g(x) > 0 \) (график выше оси \( Ox \)) на интервалах: \( (x_2; x_3) \cup (x_5; x_7) \).
    • \n
  • \( g(x) < 0 \) (график ниже оси \( Ox \)) на интервалах: \( (x_1; x_2) \cup (x_3; x_5) \cup (x_7; x_8) \).
    • \n
\n

Ответ: Функция \( f(x) \) возрастает на интервалах \( [x_2; x_3] \) и \( [x_5; x_7] \). Функция \( f(x) \) убывает на интервалах \( [x_1; x_2] \), \( [x_3; x_5] \) и \( [x_7; x_8] \).

2) точки экстремума функции \( y = f(x) \)

Ключевой принцип: Точки экстремума функции \( f(x) \) — это точки, где производная \( g(x) \) равна нулю и меняет знак.

\n

Точки, где \( g(x) = 0 \): \( x_1, x_2, x_3, x_5, x_7, x_8 \).

\n
    \n
  • \( x_1 \): \( g(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это **точка максимума**. (Начало интервала, но экстремум, если рассматривать отрезок).
    • \n
  • \( x_2 \): \( g(x) \) меняет знак с \(-\) на \(+\). Это **точка минимума**.
    • \n
  • \( x_3 \): \( g(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это **точка максимума**.
    • \n
  • \( x_5 \): \( g(x) \) меняет знак с \(-\) на \(+\). Это **точка минимума**.
    • \n
  • \( x_7 \): \( g(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это **точка максимума**.
    • \n
  • \( x_8 \): \( g(x) \) не меняет знак (она уходит в \(-\), то есть функция убывает), но это конец отрезка.
    • \n
\n

Ответ: Точки максимума \( x_1, x_3, x_7 \). Точки минимума \( x_2, x_5 \).

3) точки перегиба функции \( y = f(x) \)

Ключевой принцип: Точки перегиба функции \( f(x) \) — это точки, где вторая производная \( f''(x) \) равна нулю и меняет знак. Вторая производная \( f''(x) \) является производной от \( g(x) \), то есть это точки экстремума функции \( g(x) \).

\n

Точки экстремума на графике \( y=g(x) \) (точки, где касательная к \( g(x) \) горизонтальна): \( x_4 \) и \( x_6 \).

\n
    \n
  • \( x_4 \): \( g(x) \) достигает локального минимума, \( g'(x) \) меняет знак с \(-\) на \(+\). Это **точка перегиба** для \( f(x) \).
    • \n
  • \( x_6 \): \( g(x) \) достигает локального максимума, \( g'(x) \) меняет знак с \(+\) на \(-\). Это **точка перегиба** для \( f(x) \).
    • \n
\n

Ответ: Точки перегиба \( x_4, x_6 \).

Что применять при решении

Интервалы возрастания и убывания
Интервалы возрастания функции \( f(x) \) находятся там, где её первая производная \( f'(x) > 0 \). Интервалы убывания — где \( f'(x) < 0 \).
Возрастание: \( f'(x) > 0 \); Убывание: \( f'(x) < 0 \)
Точки экстремума
Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак. Если знак меняется с '+' на '-', то это максимум; если с '-' на '+', то это минимум.
Критические точки: \( f'(x) = 0 \text{ или } f'(x) \text{ не существует} \)
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Для функции \( f(x) \) на отрезке \( [a; b] \) наибольшее/наименьшее значение достигается либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах \( f(a) \) и \( f(b) \).
\( \max / \min f(x) \in \{ f(x_c), f(a), f(b) \}, \text{ где } x_c \text{ - критическая точка} \)
Точки перегиба
Точки, в которых вторая производная \( f''(x) \) равна нулю или не существует, и при этом \( f''(x) \) меняет знак.
\( f''(x) = 0 \text{ или } f''(x) \text{ не существует и меняет знак} \)
Производная степенной функции
Правило дифференцирования степенной функции.
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Производная сложной функции (цепное правило)
Производная сложной функции \( f(g(x)) \).
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 9

956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.