ГДЗ: Упражнение 977 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Составление функции для оптимизации.

Объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \). По условию \( H = 12 \), тогда \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot 12 = 4 S_{осн} \).

Максимизация \( V \) эквивалентна максимизации площади основания \( S_{осн} \).

Основание - прямоугольный треугольник с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c = 4 \).

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = 4^2 = 16 \), откуда \( b = \sqrt{16 - a^2} \).

Площадь основания \( S_{осн} \) (максимизируем): \( S_{осн}(a) = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} a \sqrt{16 - a^2} \).

Максимизация \( S_{осн} \) эквивалентна максимизации \( S_{осн}^2 \). Пусть \( f(a) = 4 S_{осн}^2 \):

\( f(a) = a^2 (16 - a^2) = 16a^2 - a^4 \).

Ограничения: \( 0 < a < 4 \).

Шаг 2: Нахождение первой производной \( f'(a) \).

\( f'(a) = (16a^2 - a^4)' = 32a - 4a^3 \).

Шаг 3: Нахождение критической точки.

Приравниваем производную к нулю: \( f'(a) = 0 \).

\( 32a - 4a^3 = 0 \).

\( 4a (8 - a^2) = 0 \).

Так как \( a \neq 0 \), то \( 8 - a^2 = 0 \implies a^2 = 8 \implies a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).

Шаг 4: Проверка, что это максимум.

Вторая производная: \( f''(a) = 32 - 12a^2 \).

В критической точке \( a^2 = 8 \): \( f''(\sqrt{8}) = 32 - 12(8) = 32 - 96 = -64 < 0 \). Это **максимум**.

Шаг 5: Нахождение наибольшего объема.

При \( a = 2\sqrt{2} \):

Второй катет \( b = \sqrt{16 - a^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). (Треугольник равнобедренный).

Максимальная площадь основания: \( S_{осн, max} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 4 \).

Наибольший объем: \( V_{max} = 4 S_{осн, max} = 4 \cdot 4 = 16 \).

Ответ: Наибольший объем равен 16.