Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 9 / Задание 979
| Глава: | Глава 9 |
|---|---|
| Параграф: | Глава 9 - Итоговые упражнения |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
\nПусть длина, ширина и высота кузова равны \( l, w, h \). Объем \( V = l w h \).
\nПо условию, отношение длины к ширине: \( \frac{l}{w} = \frac{5}{2} \implies l = \frac{5}{2} w \).
\nКузов открытый, поэтому площадь поверхности \( S_{пов} \) — это площадь дна \( l w \) плюс площадь четырех боковых стенок \( 2lh + 2wh \):
\n\( S_{пов} = l w + 2lh + 2wh \). По условию \( S_{пов} = 2S \).
\nШаг 2: Выражение высоты \( h \) через \( w \).
\nПодставим \( l = \frac{5}{2} w \) в формулу площади:
\n\( 2S = (\frac{5}{2} w) w + 2(\frac{5}{2} w) h + 2wh = \frac{5}{2} w^2 + 5wh + 2wh = \frac{5}{2} w^2 + 7wh \).
\nВыразим \( h \): \( 7wh = 2S - \frac{5}{2} w^2 \implies h = \frac{1}{7w} (2S - \frac{5}{2} w^2) \).
\nШаг 3: Составление функции объема \( V(w) \).
\n\( V(w) = l w h = (\frac{5}{2} w) w \cdot h = \frac{5}{2} w^2 h \).
\nПодставим \( h \): \( V(w) = \frac{5}{2} w^2 \cdot \frac{1}{7w} (2S - \frac{5}{2} w^2) = \frac{5w}{14} (2S - \frac{5}{2} w^2) = \frac{5S}{7} w - \frac{25}{28} w^3 \).
\nОграничения: \( w > 0 \), \( h > 0 \implies 2S - \frac{5}{2} w^2 > 0 \implies w^2 < \frac{4S}{5} \implies 0 < w < 2\sqrt{\frac{S}{5}} \).
\nШаг 4: Нахождение первой производной \( V'(w) \).
\n\( V'(w) = (\frac{5S}{7} w - \frac{25}{28} w^3)' = \frac{5S}{7} - \frac{25}{28} \cdot 3w^2 = \frac{5S}{7} - \frac{75}{28} w^2 \).
\nШаг 5: Нахождение критической точки.
\nПриравниваем производную к нулю: \( V'(w) = 0 \).
\n\( \frac{5S}{7} = \frac{75}{28} w^2 \implies w^2 = \frac{5S}{7} \cdot \frac{28}{75} = \frac{5S \cdot 4}{75} = \frac{4S}{15} \).
\nКритическая точка: \( w = \sqrt{\frac{4S}{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}} \sqrt{S} \).
\nШаг 6: Определение длины и ширины.
\nПроверка: \( V''(w) = -\frac{75}{28} \cdot 6w < 0 \) для \( w > 0 \). Это **максимум**.
\nОтвет: Длина \( l = \frac{\sqrt{15S}}{3} \). Ширина \( w = \frac{2\sqrt{15S}}{15} \).
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
