Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 9 / Задание 962

ГДЗ: Упражнение 962 - Глава 9 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 287, 288, 289, 290

Глава:	Глава 9
Параграф:	Глава 9 - Итоговые упражнения
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

962 упражнение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

1) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) на отрезке \( [-2; 2] \)

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \).

Приравниваем к нулю: \( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \).

По теореме Виета или через дискриминант: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).

Критическая точка \( x=1 \) принадлежит отрезку \( [-2; 2] \). Точка \( x=3 \) не принадлежит.

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=1 \): \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \).
На левом конце отрезка \( x=-2 \): \( f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9(-2) = -8 - 24 - 18 = -50 \).
На правом конце отрезка \( x=2 \): \( f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 4, -50, 2 \).

Наибольшее значение: \( 4 \). Наименьшее значение: \( -50 \).

Ответ: Наибольшее значение 4, наименьшее значение -50.

2) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) на отрезке \( [0; 4] \)

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \). Критические точки: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \).

Обе критические точки \( x=1 \) и \( x=3 \) принадлежат отрезку \( [0; 4] \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=1 \): \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4 \).
В критической точке \( x=3 \): \( f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0 \).
На левом конце отрезка \( x=0 \): \( f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0 \).
На правом конце отрезка \( x=4 \): \( f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 4, 0, 0, 4 \).

Наибольшее значение: \( 4 \). Наименьшее значение: \( 0 \).

Ответ: Наибольшее значение 4, наименьшее значение 0.

3) \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 \) на отрезке \( [-4; 3] \)

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = -1 \).

Все критические точки лежат на отрезке \( [-4; 3] \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=-1 \): \( f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \).
В критической точке \( x=0 \): \( f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3 \).
В критической точке \( x=1 \): \( f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \).
На левом конце отрезка \( x=-4 \): \( f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 32 + 3 = 227 \).
На правом конце отрезка \( x=3 \): \( f(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( 2, 3, 227, 66 \).

Наибольшее значение: \( 227 \). Наименьшее значение: \( 2 \).

Ответ: Наибольшее значение 227, наименьшее значение 2.

4) \( f(x) = x^4 - 8x^2 + 5 \) на отрезке \( [-3; 2] \)

Шаг 1: Нахождение критических точек.

Производная: \( f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2) \).

Критические точки: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \).

Все критические точки лежат на отрезке \( [-3; 2] \).

Шаг 2: Вычисление значений функции.

В критической точке \( x=-2 \): \( f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \).
В критической точке \( x=0 \): \( f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5 \).
В критической точке \( x=2 \): \( f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \).
На левом конце отрезка \( x=-3 \): \( f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 \).

Шаг 3: Сравнение значений.

Сравниваем: \( -11, 5, -11, 14 \).

Наибольшее значение: \( 14 \). Наименьшее значение: \( -11 \).

Ответ: Наибольшее значение 14, наименьшее значение -11.

Что применять при решении

Интервалы возрастания и убывания

Интервалы возрастания функции \( f(x) \) находятся там, где её первая производная \( f'(x) > 0 \). Интервалы убывания — где \( f'(x) < 0 \).

Возрастание: \( f'(x) > 0 \); Убывание: \( f'(x) < 0 \)

Точки экстремума

Точки экстремума — это критические точки, в которых производная меняет знак. Если знак меняется с '+' на '-', то это максимум; если с '-' на '+', то это минимум.

Критические точки: \( f'(x) = 0 \text{ или } f'(x) \text{ не существует} \)

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Для функции \( f(x) \) на отрезке \( [a; b] \) наибольшее/наименьшее значение достигается либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах \( f(a) \) и \( f(b) \).

\( \max / \min f(x) \in \{ f(x_c), f(a), f(b) \}, \text{ где } x_c \text{ - критическая точка} \)

Точки перегиба

Точки, в которых вторая производная \( f''(x) \) равна нулю или не существует, и при этом \( f''(x) \) меняет знак.

\( f''(x) = 0 \text{ или } f''(x) \text{ не существует и меняет знак} \)

Производная степенной функции

Правило дифференцирования степенной функции.

\( (x^n)' = n x^{n-1} \)

Производная сложной функции (цепное правило)

Производная сложной функции \( f(g(x)) \).

\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа Глава 9

956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.