Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 586

ГДЗ: Упражнение 586 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

586 упражнение:

Вычислить:

1) \( \arcsin 0 \);

Шаг 1: Определение.
По определению, \( \arcsin 0 \) — это такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), для которого \( \sin \alpha = 0 \).

  • Шаг 2: Нахождение угла.
    Единственное значение в интервале \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), при котором синус равен нулю, это \( 0 \).

    • Ответ: \( \arcsin 0 = 0 \)

    2) \( \arcsin 1 \);

    Шаг 1: Определение.
    По определению, \( \arcsin 1 \) — это такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), для которого \( \sin \alpha = 1 \).

  • Шаг 2: Нахождение угла.
    Единственное значение в интервале \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), при котором синус равен единице, это \( \frac{\pi}{2} \).

    • Ответ: \( \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} \)

    3) \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \);

    Шаг 1: Определение.
    По определению, \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \) — это такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), для которого \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

  • Шаг 2: Нахождение угла.
    Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), и \( \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).

    • Ответ: \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \)

    4) \( \arcsin \frac{1}{2} \);

    Шаг 1: Определение.
    По определению, \( \arcsin \frac{1}{2} \) — это такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), для которого \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \).

  • Шаг 2: Нахождение угла.
    Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), и \( \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).

    • Ответ: \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \)

    5) \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \);

    Шаг 1: Применение свойства.
    Используем свойство нечетности арксинуса: \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \).
    \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \).

  • Шаг 2: Вычисление арксинуса положительного числа.
    \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \) — это угол \( \alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), для которого \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
    Следовательно, \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).
  • Шаг 3: Окончательный результат.
    \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\pi}{4} \).

    • Ответ: \( -\frac{\pi}{4} \)

    6) \( \arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \);

    Шаг 1: Применение свойства.
    Используем свойство нечетности арксинуса: \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \).
    \( \arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \).

  • Шаг 2: Вычисление арксинуса положительного числа.
    \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \) — это угол \( \alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), для которого \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
    Следовательно, \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).
  • Шаг 3: Окончательный результат.
    \( \arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{\pi}{3} \).

    • Ответ: \( -\frac{\pi}{3} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.