Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 600

ГДЗ: Упражнение 600 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

600 упражнение:

Доказать, что \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \). Вычислить:

1) \( 7 \arcsin (\sin \frac{\pi}{7}) \);

Шаг 1: Проверка условия.
Угол \( \alpha = \frac{\pi}{7} \) находится в отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), так как \( -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \) и \( \frac{\pi}{7} \approx 0.45 \).

  • Шаг 2: Применение тождества.
    Поскольку условие выполняется, \( \arcsin (\sin \frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7} \).
  • Шаг 3: Вычисление.
    \( 7 \arcsin (\sin \frac{\pi}{7}) = 7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi \).

    • Ответ: \( \pi \)

    2) \( 4 \arcsin (\sin \frac{1}{2}) \);

    Шаг 1: Проверка условия.
    Угол \( \alpha = \frac{1}{2} \) (в радианах) находится в отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), так как \( -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \) и \( \frac{1}{2} = 0.5 \).

  • Шаг 2: Применение тождества.
    Поскольку условие выполняется, \( \arcsin (\sin \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \).
  • Шаг 3: Вычисление.
    \( 4 \arcsin (\sin \frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).

    • Ответ: \( 2 \)

    3) \( \arcsin (\sin \frac{6\pi}{7}) \);

    Шаг 1: Проверка условия.
    Угол \( \alpha = \frac{6\pi}{7} \) не находится в отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), так как \( \frac{6\pi}{7} \approx 2.69 \) и \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \).

  • Шаг 2: Приведение угла в диапазон арксинуса.
    Используем формулу приведения \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \).
    \( \sin \frac{6\pi}{7} = \sin (\pi - \frac{6\pi}{7}) = \sin \frac{\pi}{7} \).
    Угол \( \frac{\pi}{7} \) находится в диапазоне \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).
  • Шаг 3: Применение тождества.
    \( \arcsin (\sin \frac{6\pi}{7}) = \arcsin (\sin \frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7} \).

    • Ответ: \( \frac{\pi}{7} \)

    4) \( \arcsin (\sin 5) \);

    Шаг 1: Проверка условия.
    Угол \( \alpha = 5 \) (в радианах) не находится в отрезке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), так как \( 5 \approx 5.0 > \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \).

  • Шаг 2: Приведение угла в диапазон арксинуса.
    Сначала найдем угол \( \beta \) в \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), такой что \( \sin \beta = \sin 5 \).
    Применим формулу \( \sin \beta = \sin (\pi - \beta) \).
    Рассмотрим \( \beta = 5 - 2\pi \): \( 5 - 2\pi \approx 5 - 6.28 = -1.28 \).
    Проверим, принадлежит ли \( -1.28 \) отрезку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \): \( -1.57 \le -1.28 \le 1.57 \) — Верно.
    Используем тождество \( \sin 5 = \sin (5 - 2\pi) \).
  • Шаг 3: Применение тождества.
    \( \arcsin (\sin 5) = \arcsin (\sin (5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi \).

    • Ответ: \( 5 - 2\pi \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.