Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 603

ГДЗ: Упражнение 603 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

603 упражнение:

Вычислить:

1) \( \sin (\arcsin \frac{1}{3} + \text{arccos} \frac{2\sqrt{2}}{3}) \);

Шаг 1: Обозначения.
Пусть \( \alpha = \arcsin \frac{1}{3} \) и \( \beta = \text{arccos} \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
Тогда \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) и \( \cos \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).

  • Шаг 2: Нахождение недостающих значений.
    Для \( \alpha \): Поскольку \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \).
    \( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
    Для \( \beta \): Поскольку \( \cos \beta > 0 \), \( \sin \beta > 0 \) (так как \( \beta \in (0; \frac{\pi}{2}) \)).
    \( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \).
  • Шаг 3: Применение формулы синуса суммы.
    Используем формулу: \( \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \).
    \( \sin (\arcsin \frac{1}{3} + \text{arccos} \frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{3} \).
    Упрощаем:
    \( \frac{2\sqrt{2}}{9} + \frac{2\sqrt{2}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9} \).

    • Ответ: \( \frac{4\sqrt{2}}{9} \)

    2) \( \cos (\arcsin \frac{3}{5} + \text{arccos} \frac{4}{5}) \);

    Шаг 1: Обозначения.
    Пусть \( \alpha = \arcsin \frac{3}{5} \) и \( \beta = \text{arccos} \frac{4}{5} \).
    Тогда \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = \frac{4}{5} \).

  • Шаг 2: Нахождение недостающих значений.
    Для \( \alpha \): \( \cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5} \).
    Для \( \beta \): \( \sin \beta = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5} \) (так как \( \beta \in (0; \frac{\pi}{2}) \)).
  • Шаг 3: Применение формулы косинуса суммы.
    Используем формулу: \( \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).
    \( \cos (\arcsin \frac{3}{5} + \text{arccos} \frac{4}{5}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \).
    Упрощаем:
    \( \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \).

    • Ответ: \( \frac{7}{25} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.