Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 605

ГДЗ: Упражнение 605 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

605 упражнение:

Доказать, что если \( 0 \le a \le 1 \), то \( 2 \arcsin a = \text{arccos} (1 - 2a^2) \).

1)

Шаг 1: Обозначение и условия.
Пусть \( \alpha = \arcsin a \). Поскольку \( 0 \le a \le 1 \), по определению арксинуса имеем \( 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
Требуется доказать, что \( 2\alpha = \text{arccos} (1 - 2a^2) \), или, что эквивалентно, \( \cos (2\alpha) = 1 - 2a^2 \) и \( 2\alpha \in [0; \pi] \).

  • Шаг 2: Проверка диапазона.
    Поскольку \( 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \), то \( 0 \le 2\alpha \le \pi \). Это удовлетворяет области определения арккосинуса.
  • Шаг 3: Применение формулы двойного угла.
    Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \).
  • Шаг 4: Подстановка.
    Поскольку \( \alpha = \arcsin a \), то \( \sin \alpha = a \). Подставим это в формулу из шага 3:
    \( \cos 2\alpha = 1 - 2 (\sin \alpha)^2 = 1 - 2a^2 \).
  • Шаг 5: Заключение.
    Так как \( \cos 2\alpha = 1 - 2a^2 \) и \( 0 \le 2\alpha \le \pi \), по определению арккосинуса:
    \( 2\alpha = \text{arccos} (1 - 2a^2) \).
    Подставляя \( \alpha = \arcsin a \), получаем:
    \( 2 \arcsin a = \text{arccos} (1 - 2a^2) \).

    • Ответ: Доказательство приведено в пояснениях.

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.