Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 599

ГДЗ: Упражнение 599 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

599 упражнение:

Доказать, что \( \sin (\arcsin a) = a \) при \( -1 \le a \le 1 \). Вычислить:

1) \( \sin (\arcsin \frac{1}{7}) \);

Шаг 1: Применение тождества.
По определению арксинуса, \( \arcsin a \) — это угол, синус которого равен \( a \). Следовательно, \( \sin (\arcsin a) = a \), если \( -1 \le a \le 1 \).

  • Шаг 2: Вычисление.
    Так как \( \frac{1}{7} \in [-1; 1] \), то \( \sin (\arcsin \frac{1}{7}) = \frac{1}{7} \).

    • Ответ: \( \frac{1}{7} \)

    2) \( \sin (\arcsin (-\frac{1}{5})) \);

    Шаг 1: Применение тождества.
    Тождество: \( \sin (\arcsin a) = a \), при \( -1 \le a \le 1 \).

  • Шаг 2: Вычисление.
    Так как \( -\frac{1}{5} \in [-1; 1] \), то \( \sin (\arcsin (-\frac{1}{5})) = -\frac{1}{5} \).

    • Ответ: \( -\frac{1}{5} \)

    3) \( \sin (\pi + \arcsin \frac{4}{5}) \);

    Шаг 1: Применение формулы приведения.
    Используем формулу приведения для синуса: \( \sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).
    Здесь \( \alpha = \arcsin \frac{4}{5} \).
    \( \sin (\pi + \arcsin \frac{4}{5}) = -\sin (\arcsin \frac{4}{5}) \).

  • Шаг 2: Вычисление.
    Используем тождество \( \sin (\arcsin a) = a \):
    \( -\sin (\arcsin \frac{4}{5}) = -\frac{4}{5} \).

    • Ответ: \( -\frac{4}{5} \)

    4) \( \cos (\frac{3\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{3}) \);

    Шаг 1: Применение формулы приведения.
    Используем формулу приведения для косинуса: \( \cos (\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha \).
    Здесь \( \alpha = \arcsin \frac{1}{3} \).
    \( \cos (\frac{3\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{3}) = -\sin (\arcsin \frac{1}{3}) \).

  • Шаг 2: Вычисление.
    Используем тождество \( \sin (\arcsin a) = a \):
    \( -\sin (\arcsin \frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} \).

    • Ответ: \( -\frac{1}{3} \)

    5) \( \cos (\arcsin \frac{4}{5}) \);

    Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества.
    Пусть \( \alpha = \arcsin \frac{4}{5} \). По определению, \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (так как \( \frac{4}{5} > 0 \)).
    Нам нужно найти \( \cos \alpha \). Используем тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
    \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} \).

  • Шаг 2: Нахождение косинуса.
    Поскольку \( \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) \), \( \cos \alpha > 0 \).
    \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
    Следовательно, \( \cos (\arcsin \frac{4}{5}) = \frac{3}{5} \).

    • Ответ: \( \frac{3}{5} \)

    6) \( \text{tg} (\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}) \);

    Шаг 1: Использование тождества и определение.
    Пусть \( \alpha = \arcsin \frac{1}{\sqrt{10}} \). Тогда \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \). Так как \( \frac{1}{\sqrt{10}} > 0 \), то \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
    Нам нужно найти \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

  • Шаг 2: Нахождение \( \cos \alpha \).
    Используем \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \):
    \( \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \).
    Поскольку \( \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) \), \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \).
  • Шаг 3: Нахождение тангенса.
    \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3} \).
    Следовательно, \( \text{tg} (\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}}) = \frac{1}{3} \).

    • Ответ: \( \frac{1}{3} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.