Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 593

ГДЗ: Упражнение 593 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

593 упражнение:

Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1) \( \arcsin (\sqrt{5} - 2) \);

Шаг 1: Условие существования арксинуса.
Выражение \( \arcsin a \) имеет смысл, если аргумент \( a \) удовлетворяет условию \( -1 \le a \le 1 \).
В данном случае \( a = \sqrt{5} - 2 \).

  • Шаг 2: Оценка аргумента.
    Известно, что \( 2 < \sqrt{5} < 3 \), точнее \( \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \). Более точно, \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).
    Оценим выражение \( \sqrt{5} - 2 \):
    \( 2.236 - 2 = 0.236 \).
  • Шаг 3: Проверка неравенства.
    Проверим \( -1 \le \sqrt{5} - 2 \le 1 \).
    Левое неравенство: \( -1 \le \sqrt{5} - 2 \implies 1 \le \sqrt{5} \). Возводим в квадрат: \( 1 \le 5 \) — верно.
    Правое неравенство: \( \sqrt{5} - 2 \le 1 \implies \sqrt{5} \le 3 \). Возводим в квадрат: \( 5 \le 9 \) — верно.
    Поскольку \( -1 \le \sqrt{5} - 2 \le 1 \), выражение имеет смысл.

    • Ответ: Выражение имеет смысл.

    2) \( \arcsin (\sqrt{5} - 3) \);

    Шаг 1: Условие существования арксинуса.
    Выражение \( \arcsin a \) имеет смысл, если \( -1 \le a \le 1 \).
    В данном случае \( a = \sqrt{5} - 3 \).

  • Шаг 2: Оценка аргумента.
    Используем оценку \( 2 < \sqrt{5} < 3 \).
    Оценим выражение \( \sqrt{5} - 3 \):
    \( \sqrt{5} - 3 \approx 2.236 - 3 = -0.764 \).
  • Шаг 3: Проверка неравенства.
    Проверим \( -1 \le \sqrt{5} - 3 \le 1 \).
    Левое неравенство: \( -1 \le \sqrt{5} - 3 \implies 2 \le \sqrt{5} \). Возводим в квадрат: \( 4 \le 5 \) — верно.
    Правое неравенство: \( \sqrt{5} - 3 \le 1 \implies \sqrt{5} \le 4 \). Возводим в квадрат: \( 5 \le 16 \) — верно.
    Поскольку \( -1 \le \sqrt{5} - 3 \le 1 \), выражение имеет смысл.

    • Ответ: Выражение имеет смысл.

    3) \( \arcsin (3 - \sqrt{17}) \);

    Шаг 1: Условие существования арксинуса.
    Выражение \( \arcsin a \) имеет смысл, если \( -1 \le a \le 1 \).
    В данном случае \( a = 3 - \sqrt{17} \).

  • Шаг 2: Оценка аргумента.
    Известно, что \( 4 < \sqrt{17} < 5 \), точнее \( \sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25} \). \( \sqrt{17} \approx 4.123 \).
    Оценим выражение \( 3 - \sqrt{17} \):
    \( 3 - \sqrt{17} \approx 3 - 4.123 = -1.123 \).
  • Шаг 3: Проверка неравенства.
    Проверим \( -1 \le 3 - \sqrt{17} \le 1 \).
    Левое неравенство: \( -1 \le 3 - \sqrt{17} \implies \sqrt{17} \le 4 \). Возводим в квадрат: \( 17 \le 16 \) — неверно.
    Поскольку \( 3 - \sqrt{17} \approx -1.123 \), что меньше \( -1 \), условие \( -1 \le a \le 1 \) не выполняется. Выражение не имеет смысла.

    • Ответ: Выражение не имеет смысла, так как \( 3 - \sqrt{17} < -1 \).

    4) \( \arcsin (2 - \sqrt{10}) \);

    Шаг 1: Условие существования арксинуса.
    Выражение \( \arcsin a \) имеет смысл, если \( -1 \le a \le 1 \).
    В данном случае \( a = 2 - \sqrt{10} \).

  • Шаг 2: Оценка аргумента.
    Известно, что \( 3 < \sqrt{10} < 4 \), точнее \( \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} \). \( \sqrt{10} \approx 3.162 \).
    Оценим выражение \( 2 - \sqrt{10} \):
    \( 2 - \sqrt{10} \approx 2 - 3.162 = -1.162 \).
  • Шаг 3: Проверка неравенства.
    Проверим \( -1 \le 2 - \sqrt{10} \le 1 \).
    Левое неравенство: \( -1 \le 2 - \sqrt{10} \implies \sqrt{10} \le 3 \). Возводим в квадрат: \( 10 \le 9 \) — неверно.
    Поскольку \( 2 - \sqrt{10} \approx -1.162 \), что меньше \( -1 \), условие \( -1 \le a \le 1 \) не выполняется. Выражение не имеет смысла.

    • Ответ: Выражение не имеет смысла, так как \( 2 - \sqrt{10} < -1 \).

    5) \( \text{tg} (6 \arcsin \frac{1}{2}) \);

    Шаг 1: Вычисление арксинуса.
    По определению, \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).

  • Шаг 2: Подстановка и упрощение.
    Подставим значение в выражение:
    \( \text{tg} (6 \cdot \frac{\pi}{6}) = \text{tg} (\pi) \).
  • Шаг 3: Вычисление тангенса.
    \( \text{tg} (\pi) = 0 \). Поскольку тангенс определен при \( \pi n \) (то есть, \( \pi \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \)), выражение имеет смысл.

    • Ответ: Выражение имеет смысл. Значение: \( 0 \)

    6) \( \text{tg} (2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}) \);

    Шаг 1: Вычисление арксинуса.
    По определению, \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

  • Шаг 2: Подстановка и упрощение.
    Подставим значение в выражение:
    \( \text{tg} (2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \text{tg} (\frac{\pi}{2}) \).
  • Шаг 3: Вычисление тангенса.
    Тангенс не определен при \( \frac{\pi}{2} + \pi n \). В данном случае, при \( \frac{\pi}{2} \), тангенс не определен. Выражение не имеет смысла.

    • Ответ: Выражение не имеет смысла, так как тангенс в точке \( \frac{\pi}{2} \) не определен.

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.