Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 594

ГДЗ: Упражнение 594 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

594 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 1 - 4 \sin x = 0 \);

Шаг 1: Изоляция синуса.
Перенесем \( 4 \sin x \) в правую часть:
\( 1 = 4 \sin x \).
Разделим на \( 4 \):
\( \sin x = \frac{1}{4} \).

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Поскольку \( \frac{1}{4} \in [-1; 1] \) и не является табличным значением, решение записывается через арксинус:
    \( x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    2) \( \sqrt{3} + 4 \sin x = 0 \);

    Шаг 1: Изоляция синуса.
    Перенесем \( \sqrt{3} \) в правую часть:
    \( 4 \sin x = -\sqrt{3} \).
    Разделим на \( 4 \):
    \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{4} \).

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Проверим допустимость: \( -1 \le -\frac{\sqrt{3}}{4} \le 1 \). Поскольку \( \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1.732}{4} \approx 0.433 \), решение существует.
    Решение записывается через арксинус:
    \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{4}) + \pi n \).
    Используя свойство нечетности \( \arcsin (-a) = -\arcsin a \):
    \( x = (-1)^n (- \arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    3) \( 1 + 6 \sin \frac{x}{4} = 0 \);

    Шаг 1: Изоляция синуса.
    Перенесем \( 1 \) в правую часть:
    \( 6 \sin \frac{x}{4} = -1 \).
    Разделим на \( 6 \):
    \( \sin \frac{x}{4} = -\frac{1}{6} \).

  • Шаг 2: Применение общей формулы для аргумента.
    Аргумент: \( \frac{x}{4} \). Так как \( -\frac{1}{6} \in [-1; 1] \), решение существует:
    \( \frac{x}{4} = (-1)^n \arcsin (-\frac{1}{6}) + \pi n \).
    Используем свойство нечетности:
    \( \frac{x}{4} = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{6} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Выражение \( x \).
    Умножим обе части на \( 4 \):
    \( x = 4 \cdot \left( (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} 4 \arcsin \frac{1}{6} + 4\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^{n+1} 4 \arcsin \frac{1}{6} + 4\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    4) \( 1 - 8 \sin \frac{x}{3} = 0 \);

    Шаг 1: Изоляция синуса.
    Перенесем \( 1 \) в правую часть:
    \( -8 \sin \frac{x}{3} = -1 \).
    Разделим на \( -8 \):
    \( \sin \frac{x}{3} = \frac{1}{8} \).

  • Шаг 2: Применение общей формулы для аргумента.
    Аргумент: \( \frac{x}{3} \). Так как \( \frac{1}{8} \in [-1; 1] \), решение существует:
    \( \frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin \frac{1}{8} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Выражение \( x \).
    Умножим обе части на \( 3 \):
    \( x = 3 \cdot \left( (-1)^n \arcsin \frac{1}{8} + \pi n \right) = (-1)^n 3 \arcsin \frac{1}{8} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n 3 \arcsin \frac{1}{8} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.