ГДЗ: Упражнение 602 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества.
Пусть \( \beta = \text{arccos} \frac{2}{3} \). Тогда \( \cos \beta = \frac{2}{3} \). По определению арккосинуса, \( \beta \in [0; \pi] \).
Так как \( \frac{2}{3} > 0 \), \( \beta \in (0; \frac{\pi}{2}) \), и \( \sin \beta > 0 \).
Нам нужно найти \( \sin \beta \). Используем \( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} \):
\( \sin (\text{arccos} \frac{2}{3}) = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{3} \)

Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества.
Пусть \( \beta = \text{arccos} (-\frac{1}{2}) \). Тогда \( \cos \beta = -\frac{1}{2} \). По определению, \( \beta \in [0; \pi] \).
Так как \( -\frac{1}{2} < 0 \), \( \beta \in (\frac{\pi}{2}; \pi) \). В этом интервале \( \sin \beta > 0 \).
Нам нужно найти \( \sin \beta \). Используем \( \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} \):
\( \sin (\text{arccos} (-\frac{1}{2})) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
(Заметим, что \( \text{arccos} (-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} \), и \( \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)