Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 598

ГДЗ: Упражнение 598 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

598 упражнение:

Найти все корни уравнения \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), удовлетворяющие неравенству \( \log_{\pi} (x - 4\pi) < 1 \).

1)

Часть 1: Решение логарифмического неравенства.

  • Шаг 1.1: Область допустимых значений (ОДЗ).
    Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( x - 4\pi > 0 \implies x > 4\pi \).
  • Шаг 1.2: Решение неравенства.
    \( \log_{\pi} (x - 4\pi) < 1 \). Поскольку основание логарифма \( \pi \approx 3.14 > 1 \), функция \( \log_{\pi} t \) возрастает. Значит, можно убрать логарифм без смены знака неравенства:
    \( x - 4\pi < \pi^1 \).
    \( x < 5\pi \).
  • Шаг 1.3: Объединение с ОДЗ.
    Учитывая \( x > 4\pi \), получаем интервал, которому должны принадлежать корни: \( 4\pi < x < 5\pi \).

    • Часть 2: Общее решение тригонометрического уравнения.

  • Шаг 2.1: Общее решение.
    Уравнение: \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Главное значение: \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).
    Общее решение для \( \frac{x}{2} \):
    \( \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 2.2: Выражение \( x \).
    Умножим на 2:
    \( x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Часть 3: Поиск корней, удовлетворяющих условию.

  • Шаг 3.1: Подбор \( n \).
    Нам нужно, чтобы \( 4\pi < x < 5\pi \). Учитывая, что \( 2\pi n \) — основной сдвиг, имеет смысл искать целые \( n \) около \( 2 \):
    • Случай \( n = 2k \) (четные): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (2k) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).
      Проверим для \( k = 1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \).
      Проверка: \( 4\pi < \frac{14\pi}{3} < 5\pi \implies 12\pi < 14\pi < 15\pi \). Делим на \( \pi \): \( 12 < 14 < 15 \) — Верно. (\( \frac{14}{3} \approx 4.67 \)).
      При \( k = 0 \), \( x = \frac{2\pi}{3} \) (не в интервале). При \( k = 2 \), \( x = \frac{2\pi}{3} + 8\pi \) (слишком много).
    • Случай \( n = 2k + 1 \) (нечетные): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi (2k + 1) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k + 2\pi = \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).
      Проверим для \( k = 1 \): \( x = \frac{4\pi}{3} + 4\pi = \frac{4\pi + 12\pi}{3} = \frac{16\pi}{3} \).
      Проверка: \( 4\pi < \frac{16\pi}{3} < 5\pi \implies 12\pi < 16\pi < 15\pi \). Делим на \( \pi \): \( 12 < 16 < 15 \) — Неверно. (\( \frac{16}{3} \approx 5.33 \)).
      При \( k = 0 \): \( x = \frac{4\pi}{3} \) (не в интервале).

    Единственный корень, удовлетворяющий условию, это \( x = \frac{14\pi}{3} \).

    Ответ: \( x = \frac{14\pi}{3} \)

    • Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.