Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 589

ГДЗ: Упражнение 589 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

589 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \);

Шаг 1: Определение арксинуса.
Находим главное значение \( \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Поскольку \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), то \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Используем общую формулу для решения уравнения \( \sin x = a \):
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
    Подставляем найденное значение арксинуса:
    \( x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    2) \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \);

    Шаг 1: Определение арксинуса.
    Находим главное значение \( \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \).
    Поскольку \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), то \( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Используем общую формулу:
    \( x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
    Подставляем найденное значение:
    \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    3) \( \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \);

    Шаг 1: Определение арксинуса.
    Сначала преобразуем аргумент: \( -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
    Находим главное значение \( \alpha = \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \).
    Используем свойство нечетности: \( \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\pi}{4} \).

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Используем общую формулу:
    \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
    Подставляем найденное значение:
    \( x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n \).
    Поскольку \( (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1} \), то:
    \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.