Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 590

ГДЗ: Упражнение 590 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

590 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \sin x = \frac{2}{7} \);

Шаг 1: Проверка допустимости.
Проверим, лежит ли аргумент \( a = \frac{2}{7} \) в пределах \( [-1; 1] \). Так как \( -1 \le \frac{2}{7} \le 1 \), решение существует.

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Используем общую формулу для решения \( \sin x = a \):
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
    Поскольку значение \( \frac{2}{7} \) не является табличным, мы оставляем решение в виде арксинуса:
    \( x = (-1)^n \arcsin \frac{2}{7} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{2}{7} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    2) \( \sin x = -\frac{1}{4} \);

    Шаг 1: Проверка допустимости.
    Проверим, лежит ли аргумент \( a = -\frac{1}{4} \) в пределах \( [-1; 1] \). Так как \( -1 \le -\frac{1}{4} \le 1 \), решение существует.

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Используем общую формулу для решения \( \sin x = a \):
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
    Поскольку значение \( -\frac{1}{4} \) не является табличным, мы оставляем решение в виде арксинуса:
    \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{1}{4}) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Использование свойства нечетности (опционально).
    Можно упростить, используя \( \arcsin (-\frac{1}{4}) = - \arcsin \frac{1}{4} \):
    \( x = (-1)^n (- \arcsin \frac{1}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin (-\frac{1}{4}) + \pi n \) или \( x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    3) \( \sin x = \frac{\sqrt{5}}{3} \);

    Шаг 1: Проверка допустимости.
    Проверим, лежит ли аргумент \( a = \frac{\sqrt{5}}{3} \) в пределах \( [-1; 1] \).
    Сравним \( \frac{\sqrt{5}}{3} \) с \( 1 \):
    \( \frac{\sqrt{5}}{3} \le 1 \iff \sqrt{5} \le 3 \iff 5 \le 9 \). Так как \( 5 \le 9 \) — верно, то \( \frac{\sqrt{5}}{3} \le 1 \).
    Следовательно, решение существует.

  • Шаг 2: Применение общей формулы.
    Используем общую формулу для решения \( \sin x = a \):
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
    \( x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.