Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 591

ГДЗ: Упражнение 591 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179

Глава:	Глава 6
Параграф:	§ 34 - Арксинус
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

591 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \sin 3x = 1 \);

Шаг 1: Решение уравнения для аргумента.
Это частный случай: \( \sin \alpha = 1 \). Решение: \( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
В нашем случае \( \alpha = 3x \), следовательно:
\( 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Выражение \( x \).
Разделим обе части на \( 3 \):
\( x = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \ n \in \mathbb{Z} \)

2) \( \sin 2x = -1 \);

Шаг 1: Решение уравнения для аргумента.
Это частный случай: \( \sin \alpha = -1 \). Решение: \( \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
В нашем случае \( \alpha = 2x \), следовательно:
\( 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Выражение \( x \).
Разделим обе части на \( 2 \):
\( x = \frac{1}{2} (- \frac{\pi}{2} + 2\pi n) = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

3) \( \sqrt{2} \sin \frac{x}{3} = -1 \);

Шаг 1: Изоляция синуса.
Разделим обе части на \( \sqrt{2} \):
\( \sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Шаг 2: Определение арксинуса.
Находим главное значение \( \alpha = \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \).
\( \alpha = - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\pi}{4} \).

Шаг 3: Применение общей формулы для аргумента.
Аргумент в уравнении \( \frac{x}{3} \). Используем общую формулу:
\( \frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
\( \frac{x}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 4: Выражение \( x \).
Умножим обе части на \( 3 \):
\( x = 3 \cdot \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

4) \( 2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \);

Шаг 1: Изоляция синуса.
Разделим обе части на \( 2 \):
\( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 2: Определение арксинуса.
Находим главное значение \( \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( \alpha = \frac{\pi}{3} \).

Шаг 3: Применение общей формулы для аргумента.
Аргумент в уравнении \( \frac{x}{2} \). Используем общую формулу:
\( \frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
\( \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 4: Выражение \( x \).
Умножим обе части на \( 2 \):
\( x = 2 \cdot \left( (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

5) \( \sin (x + \frac{\pi}{4}) = 0 \);

Шаг 1: Решение уравнения для аргумента.
Это частный случай: \( \sin \alpha = 0 \). Решение: \( \alpha = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
В нашем случае \( \alpha = x + \frac{\pi}{4} \), следовательно:
\( x + \frac{\pi}{4} = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Выражение \( x \).
Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из обеих частей:
\( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

6) \( \sin (2x + \frac{\pi}{3}) = 0 \);

Шаг 1: Решение уравнения для аргумента.
Это частный случай: \( \sin \alpha = 0 \). Решение: \( \alpha = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
В нашем случае \( \alpha = 2x + \frac{\pi}{3} \), следовательно:
\( 2x + \frac{\pi}{3} = \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 2: Выражение \( 2x \).
Вычтем \( \frac{\pi}{3} \) из обеих частей:
\( 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Выражение \( x \).
Разделим обе части на \( 2 \):
\( x = \frac{1}{2} (- \frac{\pi}{3} + \pi n) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \ n \in \mathbb{Z} \)

Что применять при решении

Определение арксинуса

Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).

Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Свойство нечетности арксинуса

Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.

\( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).

Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)

Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).

\( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)

Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.

\( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 34

586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.