Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 604

ГДЗ: Упражнение 604 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

604 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \arcsin (\frac{x}{2} - 3) = \frac{\pi}{6} \);

Шаг 1: Применение синуса к обеим частям.
Поскольку \( y = \arcsin x \) и \( y = \frac{\pi}{6} \), то \( x = \sin (\frac{\pi}{6}) \).
\( \frac{x}{2} - 3 = \sin \frac{\pi}{6} \).
Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
\( \frac{x}{2} - 3 = \frac{1}{2} \).

  • Шаг 2: Решение линейного уравнения.
    \( \frac{x}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \).
    Умножим на 2:
    \( x = 7 \).
  • Шаг 3: Проверка ОДЗ.
    Аргумент арксинуса должен быть в \( [-1; 1] \): \( -1 \le \frac{x}{2} - 3 \le 1 \).
    Подставляем \( x = 7 \): \( \frac{7}{2} - 3 = 3.5 - 3 = 0.5 \). \( -1 \le 0.5 \le 1 \) — Верно.

    • Ответ: \( x = 7 \)

    2) \( \arcsin (3 - 2x) = -\frac{\pi}{4} \);

    Шаг 1: Применение синуса к обеим частям.
    \( 3 - 2x = \sin (-\frac{\pi}{4}) \).
    Мы знаем, что \( \sin (-\frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
    \( 3 - 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

  • Шаг 2: Решение линейного уравнения.
    \( 2x = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2} \).
    Разделим на 2:
    \( x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \).
  • Шаг 3: Проверка ОДЗ.
    Аргумент арксинуса должен быть в \( [-1; 1] \). Проверим: \( 3 - 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Поскольку \( -1 \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \le 1 \) (так как \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)), решение существует.

    • Ответ: \( x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.