Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 34 / Задание 596

ГДЗ: Упражнение 596 - § 34 (Арксинус) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 177, 178, 179
Глава: Глава 6
Параграф: § 34 - Арксинус
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

596 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( (4 \sin x - 3) (2 \sin x + 1) = 0 \);

Шаг 1: Применение свойства произведения.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
Случай 1: \( 4 \sin x - 3 = 0 \implies 4 \sin x = 3 \implies \sin x = \frac{3}{4} \).
Случай 2: \( 2 \sin x + 1 = 0 \implies 2 \sin x = -1 \implies \sin x = -\frac{1}{2} \).

  • Шаг 2: Решение Случая 1.
    \( \sin x = \frac{3}{4} \). Поскольку \( \frac{3}{4} \in [-1; 1] \):
    \( x_1 = (-1)^n \arcsin \frac{3}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Решение Случая 2.
    \( \sin x = -\frac{1}{2} \). Это табличное значение:
    \( \arcsin (-\frac{1}{2}) = - \arcsin \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{6} \).
    \( x_2 = (-1)^k \arcsin (-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z} \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{3}{4} + \pi n \) и \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \ n, k \in \mathbb{Z} \)

    2) \( (4 \sin x - 1) (2 \sin x + 3) = 0 \);

    Шаг 1: Применение свойства произведения.
    Приравниваем каждый множитель к нулю:
    Случай 1: \( 4 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4} \).
    Случай 2: \( 2 \sin x + 3 = 0 \implies 2 \sin x = -3 \implies \sin x = -\frac{3}{2} \).

  • Шаг 2: Решение Случая 1.
    \( \sin x = \frac{1}{4} \). Поскольку \( \frac{1}{4} \in [-1; 1] \):
    \( x_1 = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Решение Случая 2.
    \( \sin x = -\frac{3}{2} \). Поскольку \( -\frac{3}{2} = -1.5 \) и \( -1.5 < -1 \), уравнение \( \sin x = -\frac{3}{2} \) не имеет решений, так как \( |\sin x| \le 1 \).

    • Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{4} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)

    Что применять при решении

    Определение арксинуса
    Арксинусом числа \( a \) (обозначается \( \arcsin a \)) называется такое число \( \alpha \) из отрезка \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), синус которого равен \( a \), то есть \( \sin \alpha = a \). Определение имеет смысл только для \( a \in [-1; 1] \).
    Если \( \arcsin a = \alpha \), то \( \sin \alpha = a \) и \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).
    Свойство нечетности арксинуса
    Функция арксинус является нечетной функцией. Это свойство используется для вычисления арксинусов отрицательных чисел.
    \( \arcsin (-a) = - \arcsin a \), где \( a \in [-1; 1] \).
    Основная формула для решения уравнения \( \sin x = a \)
    Общее решение простейшего тригонометрического уравнения \( \sin x = a \) при \( a \in [-1; 1] \).
    \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \ n \in \mathbb{Z} \)
    Тождество \( \arcsin (\sin \alpha) \)
    Соотношение, которое справедливо при условии, что угол \( \alpha \) лежит в области определения арксинуса.
    \( \arcsin (\sin \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} \).

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 34

    586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.