Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 27

ГДЗ: Упражнение 27 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

27 упражнение:

Упражнения (Устно.) 1) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; \( \frac{1}{289} \). 2) Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; \( \frac{1}{27} \); 0,027; 0,064. 3) Найти арифметический корень четвёртой степени из числа: 0; 1; 16; \( \frac{256}{81} \); \( \frac{625}{16} \); 0,0016.

1) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; \( \frac{1}{289} \).
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа \( a \) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \( a \).
  • \( \sqrt{1} = 1 \), так как \( 1^2 = 1 \) и \( 1 \ge 0 \).
  • \( \sqrt{0} = 0 \), так как \( 0^2 = 0 \) и \( 0 \ge 0 \).
  • \( \sqrt{16} = 4 \), так как \( 4^2 = 16 \) и \( 4 \ge 0 \).
  • \( \sqrt{0,81} = 0,9 \), так как \( 0,9^2 = 0,81 \) и \( 0,9 \ge 0 \).
  • \( \sqrt{169} = 13 \), так как \( 13^2 = 169 \) и \( 13 \ge 0 \).
  • \( \sqrt{\frac{1}{289}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{289}} = \frac{1}{17} \), так как \( \left(\frac{1}{17}\right)^2 = \frac{1}{289} \) и \( \frac{1}{17} \ge 0 \).

Ответ: 1; 0; 4; 0,9; 13; \( \frac{1}{17} \).

2) Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; \( \frac{1}{27} \); 0,027; 0,064.
Арифметический кубический корень (корень 3-й степени) из неотрицательного числа \( a \) — это неотрицательное число, куб которого равен \( a \).
  • \( \sqrt[3]{1} = 1 \), так как \( 1^3 = 1 \) и \( 1 \ge 0 \).
  • \( \sqrt[3]{0} = 0 \), так как \( 0^3 = 0 \) и \( 0 \ge 0 \).
  • \( \sqrt[3]{125} = 5 \), так как \( 5^3 = 125 \) и \( 5 \ge 0 \).
  • \( \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3} \), так как \( \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} \) и \( \frac{1}{3} \ge 0 \).
  • \( \sqrt[3]{0,027} = 0,3 \), так как \( 0,3^3 = 0,027 \) и \( 0,3 \ge 0 \).
  • \( \sqrt[3]{0,064} = 0,4 \), так как \( 0,4^3 = 0,064 \) и \( 0,4 \ge 0 \).

Ответ: 1; 0; 5; \( \frac{1}{3} \); 0,3; 0,4.

3) Найти арифметический корень четвёртой степени из числа: 0; 1; 16; \( \frac{256}{81} \); \( \frac{625}{16} \); 0,0016.
Арифметический корень четвёртой степени из неотрицательного числа \( a \) — это неотрицательное число, четвёртая степень которого равна \( a \).
  • \( \sqrt[4]{0} = 0 \), так как \( 0^4 = 0 \) и \( 0 \ge 0 \).
  • \( \sqrt[4]{1} = 1 \), так как \( 1^4 = 1 \) и \( 1 \ge 0 \).
  • \( \sqrt[4]{16} = 2 \), так как \( 2^4 = 16 \) и \( 2 \ge 0 \).
  • \( \sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{4}{3} \), так как \( 4^4 = 256 \), \( 3^4 = 81 \) и \( \frac{4}{3} \ge 0 \).
  • \( \sqrt[4]{\frac{625}{16}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{5}{2} \), так как \( 5^4 = 625 \), \( 2^4 = 16 \) и \( \frac{5}{2} \ge 0 \).
  • \( \sqrt[4]{0,0016} = 0,2 \), так как \( 0,2^4 = 0,0016 \) и \( 0,2 \ge 0 \).

Ответ: 0; 1; 2; \( \frac{4}{3} \); \( \frac{5}{2} \); 0,2.

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.