Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 37

ГДЗ: Упражнение 37 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

37 упражнение:

Извлечь корень:

1) \( \sqrt[6]{64 a^{12} z^6} \)

Используем свойство корня из произведения: \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \), и \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \) для чётного показателя корня.

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[6]{64 a^{12} z^6} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{a^{12}} \cdot \sqrt[6]{z^6} \).
  • Шаг 2: Вычислим \( \sqrt[6]{64} \). Так как \( 2^6 = 64 \), то \( \sqrt[6]{64} = 2 \).
  • Шаг 3: Вычислим \( \sqrt[6]{a^{12}} \). Используем \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \): \( \sqrt[6]{a^{12}} = a^{\frac{12}{6}} = a^2 \). Поскольку \( a^2 \ge 0 \) для всех действительных \( a \), модуль не нужен.
  • Шаг 4: Вычислим \( \sqrt[6]{z^6} \). Используем \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \): \( \sqrt[6]{z^6} = |z| \).
  • Шаг 5: Перемножим результаты: \( 2 a^2 |z| \).

Ответ: \( 2 a^2 |z| \).

2) \( \sqrt[4]{a^8 b^{12}} \)

Используем свойство корня из произведения: \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \), и \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \).

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[4]{a^8 b^{12}} = \sqrt[4]{a^8} \cdot \sqrt[4]{b^{12}} \).
  • Шаг 2: Вычислим \( \sqrt[4]{a^8} \): \( \sqrt[4]{a^8} = a^{\frac{8}{4}} = a^2 \). Поскольку \( a^2 \ge 0 \), модуль не нужен.
  • Шаг 3: Вычислим \( \sqrt[4]{b^{12}} \): \( \sqrt[4]{b^{12}} = b^{\frac{12}{4}} = b^3 \). Поскольку показатель корня чётный, а результат нечётной степени, необходимо использовать модуль. Но в сноске \({}^1\) на странице 22 указано, что "Здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет дополнительных условий." В таком случае \( a > 0 \) и \( b > 0 \), поэтому \( b^3 > 0 \). \( \sqrt[4]{b^{12}} = b^3 \).
  • Шаг 4: Перемножим результаты: \( a^2 b^3 \).

Ответ: \( a^2 b^3 \) (при условии, что \( a, b \) — положительные числа).

3) \( \sqrt[5]{32 x^{10} y^{20}} \)

Используем свойство корня из произведения: \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \) и \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \). Показатель корня \( n=5 \) — нечётный, поэтому модуль не нужен.

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[5]{32 x^{10} y^{20}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x^{10}} \cdot \sqrt[5]{y^{20}} \).
  • Шаг 2: Вычислим \( \sqrt[5]{32} \). Так как \( 2^5 = 32 \), то \( \sqrt[5]{32} = 2 \).
  • Шаг 3: Вычислим \( \sqrt[5]{x^{10}} \): \( \sqrt[5]{x^{10}} = x^{\frac{10}{5}} = x^2 \).
  • Шаг 4: Вычислим \( \sqrt[5]{y^{20}} \): \( \sqrt[5]{y^{20}} = y^{\frac{20}{5}} = y^4 \).
  • Шаг 5: Перемножим результаты: \( 2 x^2 y^4 \).

Ответ: \( 2 x^2 y^4 \).

4) \( \sqrt[6]{a^{12} b^{18}} \)

Используем свойство корня из произведения: \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \), и \( \sqrt[2k]{x^{2k}} = |x| \).

  • Шаг 1: Разложим корень: \( \sqrt[6]{a^{12} b^{18}} = \sqrt[6]{a^{12}} \cdot \sqrt[6]{b^{18}} \).
  • Шаг 2: Вычислим \( \sqrt[6]{a^{12}} \): \( \sqrt[6]{a^{12}} = a^{\frac{12}{6}} = a^2 \). Поскольку \( a^2 \ge 0 \), модуль не нужен.
  • Шаг 3: Вычислим \( \sqrt[6]{b^{18}} \): \( \sqrt[6]{b^{18}} = b^{\frac{18}{6}} = b^3 \). Показатель корня чётный, а результат нечётной степени, необходим модуль, НО по сноске \({}^1\) \( a, b \) — положительные числа. \( b^3 > 0 \). \( \sqrt[6]{b^{18}} = b^3 \).
  • Шаг 4: Перемножим результаты: \( a^2 b^3 \).

Ответ: \( a^2 b^3 \) (при условии, что \( a, b \) — положительные числа).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.