Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 44

ГДЗ: Упражнение 44 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

44 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \sqrt[3]{(x)^6} \)

Используем свойство корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \). Показатель корня нечётный, поэтому модуль не нужен.

  • Шаг 1: Вычислим корень: \( \sqrt[3]{x^6} = x^{\frac{6}{3}} = x^2 \).

Ответ: \( x^2 \).

2) \( \sqrt[4]{(y)^8} \)

Используем свойство корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \). Показатель корня чётный, но по сноске \({}^1\) \( y > 0 \), поэтому модуль не нужен.

  • Шаг 1: Вычислим корень: \( \sqrt[4]{y^8} = y^{\frac{8}{4}} = y^2 \).

Ответ: \( y^2 \).

3) \( \sqrt[3]{(\sqrt{a} \cdot b)^6} \)

Используем свойство степени степени \( (a^m)^n = a^{mn} \) и свойство корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \).

  • Шаг 1: Упростим подкоренное выражение, используя \( (xy)^n = x^n y^n \) и \( (\sqrt{a})^6 = (a^{1/2})^6 = a^3 \): \( \sqrt[3]{(\sqrt{a})^6 \cdot b^6} = \sqrt[3]{a^3 b^6} \).
  • Шаг 2: Разложим корень: \( \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^6} \).
  • Шаг 3: Вычислим: \( a \cdot b^{\frac{6}{3}} = a b^2 \). (По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).

Ответ: \( a b^2 \).

4) \( \sqrt[4]{(3 \cdot \sqrt[3]{a^2} \cdot b^2)^{12}} \)

Используем свойство корня \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \) и свойство степени степени.

  • Шаг 1: Представим корень как степень с дробным показателем: \( (3 \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot b^2)^{\frac{12}{4}} = (3 \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot b^2)^3 \).
  • Шаг 2: Применим свойства степени: \( 3^3 \cdot (a^{\frac{2}{3}})^3 \cdot (b^2)^3 \).
  • Шаг 3: Упростим: \( 27 \cdot a^{\frac{2}{3} \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 27 a^2 b^6 \). (По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).

Ответ: \( 27 a^2 b^6 \).

5) \( \sqrt[6]{(\sqrt[3]{a^2 b})^6} \)

Используем свойство \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для \( a \ge 0 \).

  • Шаг 1: Вычислим корень шестой степени. Так как подкоренное выражение \( \sqrt[3]{a^2 b} \ge 0 \) (по сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)), то \( \sqrt[6]{(\sqrt[3]{a^2 b})^6} = |\sqrt[3]{a^2 b}| = \sqrt[3]{a^2 b} \).

Ответ: \( \sqrt[3]{a^2 b} \).

6) \( \sqrt[4]{(\sqrt[3]{27 a})^4} \)

Используем свойство \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) для чётного \( n \).

  • Шаг 1: Вычислим корень четвёртой степени. Так как подкоренное выражение \( \sqrt[3]{27 a} \ge 0 \) (по сноске \({}^1\) \( a > 0 \)), то \( \sqrt[4]{(\sqrt[3]{27 a})^4} = |\sqrt[3]{27 a}| = \sqrt[3]{27 a} \).
  • Шаг 2: Упростим кубический корень: \( \sqrt[3]{27 a} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a} = 3 \sqrt[3]{a} \).

Ответ: \( 3\sqrt[3]{a} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.