Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 47

ГДЗ: Упражнение 47 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

47 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \frac{\sqrt[4]{49 \cdot 112}}{\sqrt[4]{3 \cdot 250}} \)

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[4]{\frac{49 \cdot 112}{3 \cdot 250}} \).
  • Шаг 2: Разложим числа на простые множители: \( 49 = 7^2 \), \( 112 = 16 \cdot 7 = 2^4 \cdot 7 \), \( 250 = 2 \cdot 125 = 2 \cdot 5^3 \).
  • Шаг 3: Подставим и упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[4]{\frac{7^2 \cdot 2^4 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\frac{2^4 \cdot 7^3}{3 \cdot 2 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\frac{2^3 \cdot 7^3}{3 \cdot 5^3}} \).
  • Шаг 4: Перегруппируем: \( \sqrt[4]{\frac{(2 \cdot 7)^3}{3 \cdot 5^3}} = \sqrt[4]{\frac{14^3}{3 \cdot 5^3}} \) — не вычисляется красиво.
  • Предположим, что должно быть \( \frac{\sqrt[4]{48 \cdot 162}}{\sqrt[4]{3 \cdot 2}} \) (типовой пример): \( \sqrt[4]{\frac{48 \cdot 162}{6}} = \sqrt[4]{8 \cdot 162} = \sqrt[4]{1296} = 6 \).
  • Будем следовать исходному тексту. \( \sqrt[4]{\frac{2^3 \cdot 7^3}{3 \cdot 5^3}} \) — не упрощается.

Ответ: \( \sqrt[4]{\frac{2^3 \cdot 7^3}{3 \cdot 5^3}} \).

2) \( \frac{\sqrt[4]{54 \cdot 120}}{\sqrt[4]{4}} \cdot \frac{\sqrt[4]{20}}{\sqrt[4]{5}} \)

Используем свойство произведения и частного корней.

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{4} \cdot \frac{20}{5}} \).
  • Шаг 2: Упростим: \( \sqrt[4]{(54 \cdot 30) \cdot 4} = \sqrt[4]{6480} \) — не вычисляется красиво.
  • Предположим, что должно быть \( \sqrt[4]{54 \cdot 120} / \sqrt[4]{4 \cdot 5} \): \( \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{20}} = \sqrt[4]{54 \cdot 6} = \sqrt[4]{324} \) — не вычисляется красиво.
  • Предположим, что должно быть \( \frac{\sqrt[4]{54 \cdot 120}}{\sqrt[4]{240}} \): \( \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{240}} = \sqrt[4]{54 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt[4]{27} \) — не вычисляется красиво.
  • Будем считать, что задание было \( \frac{\sqrt[4]{54 \cdot 120}}{\sqrt[4]{4 \cdot 5}} \): \( \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{20}} = \sqrt[4]{54 \cdot 6} = \sqrt[4]{324} \).
  • Рассмотрим вариант \( \frac{\sqrt[4]{54 \cdot 120}}{\sqrt[4]{4}} \cdot \sqrt[4]{\frac{120}{5}} \) (опечатка): \( \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{4} \cdot \frac{120}{5}} = \sqrt[4]{54 \cdot 30 \cdot 24} \) — некрасиво.

Ответ: Оставим по исходному тексту. \( \sqrt[4]{\frac{54 \cdot 120}{4} \cdot 4} = \sqrt[4]{54 \cdot 120} = \sqrt[4]{6480} \).

3) \( \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{\sqrt[4]{27^2}}{\sqrt[4]{27}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}}}{\sqrt[3]{\sqrt{64}}} \)

Разложим на три множителя и упростим каждый отдельно.

  • Первый множитель: \( \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{\frac{32}{4}} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
  • Второй множитель: \( \frac{\sqrt[4]{27^2}}{\sqrt[4]{27}} = \sqrt[4]{\frac{27^2}{27}} = \sqrt[4]{27} \).
  • Третий множитель: \( \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}}}{\sqrt[3]{\sqrt{64}}} = \frac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[6]{64}} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} \).
  • Перемножим: \( 2 \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \frac{\sqrt[6]{3}}{2} = \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[6]{3} \).
  • Приведем к общему показателю 12: \( \sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[12]{(3^3)^3} \cdot \sqrt[12]{3^2} = \sqrt[12]{3^9 \cdot 3^2} = \sqrt[12]{3^{11}} \).

Ответ: \( \sqrt[12]{3^{11}} \).

4) \( \sqrt[4]{2\frac{3}{3} \cdot \sqrt{18}} \)

Вероятно, опечатка, должно быть \( \sqrt[4]{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{18}} \) или \( \sqrt[4]{2 \cdot \frac{3}{3}} \cdot \sqrt[4]{18} \). Будем считать, что это \( \sqrt[4]{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{18}} \) (типовой пример).

  • Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[4]{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{18}} = \sqrt[4]{6 \sqrt{18}} \).
  • Шаг 2: Внесем 6 под квадратный корень: \( \sqrt[4]{\sqrt{6^2 \cdot 18}} = \sqrt[8]{36 \cdot 18} = \sqrt[8]{648} \) — некрасиво.
  • Рассмотрим исходный текст: \( \sqrt[4]{2\frac{3}{3} \cdot \sqrt{18}} \). \( 2\frac{3}{3} = 3 \). \( \sqrt[4]{3 \cdot \sqrt{18}} \).
  • Шаг 1: Внесем 3 под квадратный корень: \( \sqrt[4]{\sqrt{3^2 \cdot 18}} = \sqrt[8]{9 \cdot 18} = \sqrt[8]{162} \).

Ответ: \( \sqrt[8]{162} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.