Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 4 / Задание 54

ГДЗ: Упражнение 54 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23
Глава: Глава 1
Параграф: § 4 - Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

54 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \)

Разложим числитель и знаменатель каждой дроби, используя формулу разности квадратов \( x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \) и вынесение общего множителя. По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \).

  • Шаг 1: Упростим знаменатель первой дроби: \( \sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) \).
    Первая дробь: \( \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} \).
  • Шаг 2: Упростим числитель и знаменатель второй дроби:
    Числитель: \( \sqrt{a} + \sqrt{ab} = \sqrt{a}(1 + \sqrt{b}) \) — неверно.
    Числитель: \( \sqrt{a} + \sqrt{ab} = \sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{a^2 b^2} \). Вынесем \( \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a} \): \( \sqrt{a} (1 + \sqrt{b}) \) — нерационально.
    Предположим, что числитель должен быть \( a + \sqrt{ab} \) или \( \sqrt{a} + \sqrt[4]{a^2 b} \).
  • Шаг 3: Сделаем предположение, что во втором числителе опечатка и он должен быть \( a + \sqrt{ab} \). Тогда \( a + \sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt[4]{a^2})(\sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{b^2}) \). Не подходит.
  • Шаг 4: Упростим числитель второй дроби по исходному тексту: \( \sqrt{a} + \sqrt{a b} = \sqrt{a} (1 + \sqrt{b}) \).
    Вторая дробь: \( \frac{\sqrt{a} (1 + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \). Не упрощается.
  • Шаг 5: Рассмотрим типовую опечатку: \( \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{a b^2}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \). Тогда \( \frac{\sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{a b^2}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \).
  • Шаг 6: Рассмотрим, что задание было \( \frac{\sqrt{a} - b}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} - \frac{a - \sqrt[4]{a^2 b^2}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \) (типовой пример):
    Первая дробь: \( \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} \).
    Вторая дробь: \( \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \).
  • Шаг 7: Будем следовать исходному тексту.
    Разность: \( (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) - \frac{\sqrt{a} (1 + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \). Не упрощается.

Ответ: Оставим по исходному тексту. \( \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \frac{\sqrt{a} (1 + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \).

2) \( \frac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \)

Используем формулы разности и суммы кубов: \( a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} ) \) и \( a + b = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})( \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} ) \).

  • Шаг 1: Упростим первую дробь: \( \frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} )}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} \).
  • Шаг 2: Упростим вторую дробь: \( \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})( \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} )}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} \).
  • Шаг 3: Вычтем:
    \( (\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) - (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) \)
    \( = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{b^2} \)
    \( = 2 \sqrt[3]{ab} \).

Ответ: \( 2\sqrt[3]{ab} \).

3) \( \left( \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a b}}{\sqrt[3]{a}} \right) : (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 \)

Упростим выражение, используя формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) и вынесение общего множителя.

  • Шаг 1: Упростим первый множитель в скобках. Предположим, что в знаменателе опечатка и должно быть \( \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} \).
    Первый множитель: \( \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{a + b}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \). Не подходит.
  • Шаг 2: Упростим числитель второго множителя в скобках: \( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a b} = \sqrt[3]{a} (1 + \sqrt[3]{b}) \).
  • Шаг 3: Упростим выражение в скобках по исходному тексту:
    \( \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} (1 + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}} \).
    Сократим \( \sqrt[3]{a} \): \( \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (1 + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}} \). Не упрощается.
  • Шаг 4: Рассмотрим типовую опечатку: \( \left( \frac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}} \right) \). Не подходит.
  • Шаг 5: Будем следовать исходному тексту. \( \left( \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (1 + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}} \right) : (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 \). Не упрощается.

Ответ: Оставим по исходному тексту. \( \left( \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) (1 + \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}} \right) : (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
  • 1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
  • 2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
  • 3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
  • 4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
  • 5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.