ГДЗ: Упражнение 45 - § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

• Шаг 1: Запишем условие: \( 2 x - 3 \ge 0 \).
• Шаг 2: Решим неравенство: \( 2 x \ge 3 \).
• Шаг 3: Получим ответ: \( x \ge \frac{3}{2} \) или \( x \ge 1,5 \).

Ответ: \( x \ge 1,5 \).

Корень чётной степени \( n=6 \) определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

• Шаг 1: Запишем условие: \( 2 x + 3 \ge 0 \).
• Шаг 2: Решим неравенство: \( 2 x \ge -3 \).
• Шаг 3: Получим ответ: \( x \ge -\frac{3}{2} \) или \( x \ge -1,5 \).

Ответ: \( x \ge -1,5 \).

Корень чётной степени \( n=6 \) определён только для неотрицательных чисел. Следовательно, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

• Шаг 1: Запишем условие: \( 2 x^2 - x - 1 \ge 0 \).
• Шаг 2: Найдём корни квадратного уравнения \( 2 x^2 - x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).
• Шаг 3: Корни: \( x_{1, 2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4} \). \( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \).
• Шаг 4: Поскольку коэффициент при \( x^2 \) (это 2) положителен, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \( 2 x^2 - x - 1 \ge 0 \) выполняется вне интервала между корнями.
• Шаг 5: Получим ответ: \( x \le -\frac{1}{2} \) или \( x \ge 1 \).

Ответ: \( x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right] \cup [1; +\infty) \).

Корень чётной степени \( n=4 \) определён только для неотрицательных чисел. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю.

• Шаг 1 (Условие на подкоренное выражение): \( \frac{2 - 3 x}{2 x - 4} \ge 0 \).
• Шаг 2 (Условие на знаменатель): \( 2 x - 4 \ne 0 \), то есть \( x \ne 2 \).
• Шаг 3: Для решения рационального неравенства найдём нули числителя и знаменателя.
  Числитель: \( 2 - 3 x = 0 \Rightarrow 3 x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \). (Точка закрашенная).
  Знаменатель: \( 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \). (Точка выколотая).
• Шаг 4: Используем метод интервалов. Проверим знак выражения на интервалах \( (-\infty; \frac{2}{3}) \), \( (\frac{2}{3}; 2) \), \( (2; +\infty) \).
  Например, при \( x = 0 \): \( \frac{2 - 0}{0 - 4} = -\frac{2}{4} < 0 \).
  Например, при \( x = 1 \): \( \frac{2 - 3}{2 - 4} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0 \).
  Например, при \( x = 3 \): \( \frac{2 - 9}{6 - 4} = \frac{-7}{2} < 0 \).
• Шаг 5: Неравенство \( \frac{2 - 3 x}{2 x - 4} \ge 0 \) выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Это интервал \( [\frac{2}{3}; 2) \).

Ответ: \( x \in \left[\frac{2}{3}; 2\right) \).